T3: Vibraciones y ondas · Ondas armónicas — FISICA PEvAU Andaluc%2525C3%2525ADa 2016

Ondas armónicas

Problema

2016 · Extraordinaria · Suplente

4B-b

La ecuación de una onda en una cuerda es: y(x,t) = 0,5 \text{ sen}(3\pi t + 2\pi x) \text{ (S.I.)}

b) Calcule la elongación y la velocidad de una partícula de la cuerda situada en

x = 0,2 \text{ m}

, en el instante

t = 0,3 \text{ s}

. ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos puntos separados

0,3 \text{ m}

Velocidad de vibraciónDiferencia de fase

b) Elongación y velocidad de la partícula en

x = 0{,}2

t = 0{,}3

La ecuación de la onda es:

y(x,t) = 0{,}5 \cdot \text{sen}(3\pi t + 2\pi x) \quad \text{(S.I.)}

Identificamos los parámetros de la onda: amplitud $A = 0{,}5$ m, frecuencia angular $\omega = 3\pi$ rad/s y número de onda $k = 2\pi$ rad/m.El período es $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{3\pi} = \frac{2}{3}$ s y la longitud de onda es $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$ m.Calculamos el argumento de la función seno en $x = 0{,}2$ m y $t = 0{,}3$ s:

\phi = 3\pi \cdot 0{,}3 + 2\pi \cdot 0{,}2 = 0{,}9\pi + 0{,}4\pi = 1{,}3\pi \text{ rad}

Elongación de la partícula:

y(0{,}2,\, 0{,}3) = 0{,}5 \cdot \text{sen}(1{,}3\pi) = 0{,}5 \cdot \text{sen}(234^\circ)

\text{sen}(234^\circ) = -\text{sen}(54^\circ) \approx -0{,}809

y(0{,}2,\, 0{,}3) = 0{,}5 \cdot (-0{,}809) \approx -0{,}405 \text{ m}

Para la velocidad de la partícula, derivamos $y$ respecto al tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}5 \cdot 3\pi \cdot \cos(3\pi t + 2\pi x) = 1{,}5\pi \cdot \cos(3\pi t + 2\pi x)

Evaluamos en $x = 0{,}2$ m y $t = 0{,}3$ s:

v_y(0{,}2,\, 0{,}3) = 1{,}5\pi \cdot \cos(1{,}3\pi) = 1{,}5\pi \cdot \cos(234^\circ)

\cos(234^\circ) = -\cos(54^\circ) \approx -0{,}588

v_y(0{,}2,\, 0{,}3) = 1{,}5\pi \cdot (-0{,}588) \approx -2{,}771 \text{ m/s}

Diferencia de fase entre dos puntos separados

\Delta x = 0{,}3

La diferencia de fase entre dos puntos separados una distancia $\Delta x$ se obtiene a partir de la fase de la onda. Como la fase espacial depende de $k \cdot x$ , la diferencia de fase es:

\Delta\phi = k \cdot \Delta x

Sustituyendo $k = 2\pi$ rad/m y $\Delta x = 0{,}3$ m:

\Delta\phi = 2\pi \cdot 0{,}3 = 0{,}6\pi \approx 1{,}88 \text{ rad} \approx 108^\circ