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T3: Geometría
Posiciones relativas y Simetría
Problema
2020 · Ordinaria · Suplente
8
Examen

Considera el punto A(0,1,−2)A(0, 1, -2) y los planos π1≡2x−y−z+5=0\pi_1 \equiv 2x - y - z + 5 = 0 y π2≡x+5y−6z−4=0\pi_2 \equiv x + 5y - 6z - 4 = 0.

a) Halla el punto simétrico de AA respecto de π1\pi_1.b) Determina la recta que pasa por AA y es paralela a π1\pi_1 y π2\pi_2.
SimétricoRectasPlanos+1
a) Halla el punto simétrico de AA respecto de π1\pi_1.

Para hallar el punto simétrico A′(x′,y′,z′)A'(x', y', z') de A(0,1,−2)A(0, 1, -2) respecto del plano π1≡2x−y−z+5=0\pi_1 \equiv 2x - y - z + 5 = 0, seguimos los siguientes pasos:1. Calculamos la recta rr que pasa por AA y es perpendicular a π1\pi_1. El vector normal de π1\pi_1, n1⃗=(2,−1,−1)\vec{n_1} = (2, -1, -1), es el vector director de la recta rr.

r:{x=2λy=1−λz=−2−λr: \begin{cases} x = 2\lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = -2 - \lambda \end{cases}

2. Hallamos el punto de intersección MM de la recta rr con el plano π1\pi_1. Sustituimos las ecuaciones paramétricas de rr en la ecuación de π1\pi_1.

2(2\lambda) - (1 - \lambda) - (-2 - \lambda) + 5 = 0
4λ−1+λ+2+λ+5=04\lambda - 1 + \lambda + 2 + \lambda + 5 = 0
6λ+6=0  ⟹  λ=−16\lambda + 6 = 0 \implies \lambda = -1

Sustituimos el valor de λ\lambda en las ecuaciones de la recta rr para encontrar las coordenadas de MM.

M:{x=2(−1)=−2y=1−(−1)=2z=−2−(−1)=−1M: \begin{cases} x = 2(-1) = -2 \\ y = 1 - (-1) = 2 \\ z = -2 - (-1) = -1 \end{cases}

Así, el punto de intersección es M(−2,2,−1)M(-2, 2, -1).3. El punto MM es el punto medio entre A(0,1,−2)A(0, 1, -2) y su simétrico A′(x′,y′,z′)A'(x', y', z'). Usamos la fórmula del punto medio:

(xA+x′2,yA+y′2,zA+z′2)=(xM,yM,zM)\left(\frac{x_A + x'}{2}, \frac{y_A + y'}{2}, \frac{z_A + z'}{2}\right) = (x_M, y_M, z_M)
0+x′2=−2  ⟹  x′=−4\frac{0 + x'}{2} = -2 \implies x' = -4
1+y′2=2  ⟹  1+y′=4  ⟹  y′=3\frac{1 + y'}{2} = 2 \implies 1 + y' = 4 \implies y' = 3
−2+z′2=−1  ⟹  −2+z′=−2  ⟹  z′=0\frac{-2 + z'}{2} = -1 \implies -2 + z' = -2 \implies z' = 0

El punto simétrico de AA respecto de π1\pi_1 es A′(−4,3,0)A'(-4, 3, 0).

b) Determina la recta que pasa por AA y es paralela a π1\pi_1 y π2\pi_2.

La recta ss que buscamos pasa por A(0,1,−2)A(0, 1, -2) y es paralela a los planos π1\pi_1 y π2\pi_2. Esto significa que su vector director vs⃗\vec{v_s} debe ser perpendicular a los vectores normales de ambos planos.Los vectores normales de los planos son:

n1⃗=(2,−1,−1) (de π1≡2x−y−z+5=0)\vec{n_1} = (2, -1, -1) \text{ (de } \pi_1 \equiv 2x - y - z + 5 = 0)
n2⃗=(1,5,−6) (de π2≡x+5y−6z−4=0)\vec{n_2} = (1, 5, -6) \text{ (de } \pi_2 \equiv x + 5y - 6z - 4 = 0)

El vector director de la recta ss se obtiene calculando el producto vectorial de n1⃗\vec{n_1} y n2⃗\vec{n_2}.

vs⃗=n1⃗×n2⃗=∣ijk2−1−115−6∣\vec{v_s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 5 & -6 \end{vmatrix}
vs⃗=((−1)(−6)−(−1)(5))i−((2)(−6)−(−1)(1))j+((2)(5)−(−1)(1))k\vec{v_s} = ((-1)(-6) - (-1)(5))\mathbf{i} - ((2)(-6) - (-1)(1))\mathbf{j} + ((2)(5) - (-1)(1))\mathbf{k}
vs⃗=(6+5)i−(−12+1)j+(10+1)k\vec{v_s} = (6 + 5)\mathbf{i} - (-12 + 1)\mathbf{j} + (10 + 1)\mathbf{k}
vs⃗=11i+11j+11k=(11,11,11)\vec{v_s} = 11\mathbf{i} + 11\mathbf{j} + 11\mathbf{k} = (11, 11, 11)

Podemos simplificar el vector director a vs⃗=(1,1,1)\vec{v_s} = (1, 1, 1), ya que cualquier múltiplo es válido.La recta ss pasa por A(0,1,−2)A(0, 1, -2) y tiene como vector director vs⃗=(1,1,1)\vec{v_s} = (1, 1, 1). Sus ecuaciones paramétricas son:

s:{x=0+1λy=1+1λz=−2+1λ  ⟹  {x=λy=1+λz=−2+λs: \begin{cases} x = 0 + 1\lambda \\ y = 1 + 1\lambda \\ z = -2 + 1\lambda \end{cases} \implies \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = -2 + \lambda \end{cases}

Las ecuaciones continuas de la recta ss son:

x1=y−11=z+21\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{1}