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T2: Interacción electromagnética
Campo magnético, Fuerza de Lorentz
Problema
2026 · Ordinaria · Suplente
B-b2
Examen
b2) Dos hilos conductores rectilíneos, muy largos y paralelos al eje OZ, pasan por el origen de coordenadas A(0,0) cm\text{A}(0,0) \text{ cm} y por el punto B(20,0) cm\text{B}(20,0) \text{ cm}. Por ambos hilos circulan corrientes de intensidades I1=10 AI_1 = 10 \text{ A} e I2=5 AI_2 = 5 \text{ A}, respectivamente, dirigidas hacia la parte positiva del eje OZ. Un electrón se encuentra en el punto P(5,0) cm\text{P}(5,0) \text{ cm}. Calcule, ayudándose de un esquema: i) el vector campo magnético total en el punto P\text{P}; ii) el vector fuerza magnética que actúa sobre un electrón en el instante en que penetra en el punto P con una velocidad v=105 m⋅s−1v = 10^5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} de la misma dirección y sentido que las intensidades.

μ0=4π⋅10−7 T⋅m⋅A−1\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}; e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}

Imagen del ejercicio
Hilos conductoresCorriente eléctricaCampo magnético+2
i) El vector campo magnético total en el punto P.

Los dos hilos conductores rectilíneos, muy largos y paralelos al eje OZ, generan campos magnéticos concéntricos alrededor de ellos en el plano XY. La dirección del campo magnético en un punto se determina mediante la regla de la mano derecha. Para corrientes dirigidas en el sentido positivo del eje OZ:

XYmI1 (0,0 cm)mI2 (20,0 cm)P (5,0 cm)g1g2

1. El hilo 1 (I1I_1) está en el origen (0,0 cm). El punto P(5,0 cm) está a su derecha. Según la regla de la mano derecha, el campo B1⃗\vec{B_1} en P apunta en la dirección negativa del eje OY (hacia abajo).2. El hilo 2 (I2I_2) está en (20,0 cm). El punto P(5,0 cm) está a su izquierda. Según la regla de la mano derecha, el campo B2⃗\vec{B_2} en P apunta en la dirección positiva del eje OY (hacia arriba).La magnitud del campo magnético producido por un hilo rectilíneo muy largo es:

B=μ0I2πrB = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

Para el hilo 1:

I1=10 AI_1 = 10 \text{ A}
r1=5 cm=0.05 mr_1 = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}
B1=4π⋅10−7 T⋅m⋅A−1⋅10 A2π⋅0.05 m=2⋅10−7⋅100.05 T=4⋅10−5 TB_1 = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1} \cdot 10 \text{ A}}{2\pi \cdot 0.05 \text{ m}} = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 10}{0.05} \text{ T} = 4 \cdot 10^{-5} \text{ T}

El vector campo magnético B1⃗\vec{B_1} en P es:

B1⃗=−4⋅10−5j^ T\vec{B_1} = -4 \cdot 10^{-5} \hat{j} \text{ T}

Para el hilo 2:

I2=5 AI_2 = 5 \text{ A}
r2=∣20 cm−5 cm∣=15 cm=0.15 mr_2 = |20 \text{ cm} - 5 \text{ cm}| = 15 \text{ cm} = 0.15 \text{ m}
B2=4π⋅10−7 T⋅m⋅A−1⋅5 A2π⋅0.15 m=2⋅10−7⋅50.15 T=10⋅10−70.15 T=23⋅10−5 T≈6.67⋅10−6 TB_2 = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1} \cdot 5 \text{ A}}{2\pi \cdot 0.15 \text{ m}} = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 5}{0.15} \text{ T} = \frac{10 \cdot 10^{-7}}{0.15} \text{ T} = \frac{2}{3} \cdot 10^{-5} \text{ T} \approx 6.67 \cdot 10^{-6} \text{ T}

El vector campo magnético B2⃗\vec{B_2} en P es:

B2⃗=+23⋅10−5j^ T\vec{B_2} = +\frac{2}{3} \cdot 10^{-5} \hat{j} \text{ T}

El vector campo magnético total Btotal⃗\vec{B_{total}} en el punto P es la suma vectorial de ambos campos:

Btotal⃗=B1⃗+B2⃗=(−4⋅10−5+23⋅10−5)j^ T\vec{B_{total}} = \vec{B_1} + \vec{B_2} = \left(-4 \cdot 10^{-5} + \frac{2}{3} \cdot 10^{-5}\right) \hat{j} \text{ T}
Btotal⃗=(−123+23)⋅10−5j^ T=−103⋅10−5j^ T\vec{B_{total}} = \left(-\frac{12}{3} + \frac{2}{3}\right) \cdot 10^{-5} \hat{j} \text{ T} = -\frac{10}{3} \cdot 10^{-5} \hat{j} \text{ T}
Btotal⃗≈−3.33⋅10−5j^ T\vec{B_{total}} \approx -3.33 \cdot 10^{-5} \hat{j} \text{ T}
ii) El vector fuerza magnética que actúa sobre un electrón en P.

La fuerza magnética sobre una partícula cargada viene dada por la fuerza de Lorentz:

F⃗=q(v⃗×Btotal⃗)\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B_{total}})

Datos del electrón:

q=−e=−1.6⋅10−19 Cq = -e = -1.6 \cdot 10^{-19} \text{ C}
\vec{v} = 10^5 \hat{k} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ (misma dirección y sentido que las intensidades)
\vec{B_{total}} = -\frac{10}{3} \cdot 10^{-5} \hat{j} \text{ T}$ (calculado en el apartado i))

Calculamos el producto vectorial v⃗×Btotal⃗\vec{v} \times \vec{B_{total}}:

v⃗×Btotal⃗=(105k^)×(−103⋅10−5j^)\vec{v} \times \vec{B_{total}} = (10^5 \hat{k}) \times \left(-\frac{10}{3} \cdot 10^{-5} \hat{j}\right)
v⃗×Btotal⃗=105(−103⋅10−5)(k^×j^)\vec{v} \times \vec{B_{total}} = 10^5 \left(-\frac{10}{3} \cdot 10^{-5}\right) (\hat{k} \times \hat{j})

Recordando que k^×j^=−i^\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}:

v⃗×Btotal⃗=(−103)(−i^)=103i^ m⋅s−1⋅T\vec{v} \times \vec{B_{total}} = \left(-\frac{10}{3}\right) (-\hat{i}) = \frac{10}{3} \hat{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{T}

Ahora, calculamos la fuerza magnética F⃗\vec{F}:

F⃗=(−1.6⋅10−19 C)(103i^ m⋅s−1⋅T)\vec{F} = (-1.6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) \left(\frac{10}{3} \hat{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{T}\right)
F⃗=−1.6⋅103⋅10−19i^ N\vec{F} = -\frac{1.6 \cdot 10}{3} \cdot 10^{-19} \hat{i} \text{ N}
F⃗=−163⋅10−19i^ N\vec{F} = -\frac{16}{3} \cdot 10^{-19} \hat{i} \text{ N}
F⃗≈−5.33⋅10−19i^ N\vec{F} \approx -5.33 \cdot 10^{-19} \hat{i} \text{ N}