T5: Probabilidad · Independencia y Sucesos — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andaluc%2525C3%2525ADa 2023

Independencia y Sucesos

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

El $32$ % de las microempresas tiene página web y el $64.6$ % ni tiene página web ni realiza ventas por comercio electrónico. De las microempresas que tienen página web, el $30$ % realiza ventas por comercio electrónico. Se selecciona al azar una microempresa.

a) Calcule la probabilidad de que tenga página web o realice ventas por comercio electrónico.b) Calcule la probabilidad de que realice ventas por comercio electrónico.c) Calcule la probabilidad de que no tenga página web y realice ventas por comercio electrónico.d) Razone si son independientes los sucesos 'Tener página web' y 'Realizar ventas por comercio electrónico'. ¿Son incompatibles?

ProbabilidadSucesos independientesSucesos incompatibles

Definimos los siguientes sucesos: $W$ : La microempresa tiene página web. $E$ : La microempresa realiza ventas por comercio electrónico.A partir de los datos proporcionados, tenemos las siguientes probabilidades:1. El 32% de las microempresas tiene página web: $P(W) = 0.32$ .2. El 64.6% ni tiene página web ni realiza ventas por comercio electrónico: $P(W^c \cap E^c) = 0.646$ .3. De las microempresas que tienen página web, el 30% realiza ventas por comercio electrónico: $P(E | W) = 0.30$ .Calculamos otras probabilidades a partir de estos datos.De $P(W^c \cap E^c) = 0.646$ , por las Leyes de De Morgan, sabemos que $P((W \cup E)^c) = 0.646$ . Por lo tanto:

P(W \cup E) = 1 - P((W \cup E)^c) = 1 - 0.646 = 0.354

De $P(E | W) = 0.30$ y $P(W) = 0.32$ , podemos calcular $P(E \cap W)$ :

P(E \cap W) = P(E | W) \cdot P(W) = 0.30 \cdot 0.32 = 0.096

Ahora podemos responder a las preguntas.

a) Calcule la probabilidad de que tenga página web o realice ventas por comercio electrónico.

Esta probabilidad es $P(W \cup E)$ , que ya hemos calculado:

P(W \cup E) = 0.354

b) Calcule la probabilidad de que realice ventas por comercio electrónico.

Usamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $P(W \cup E) = P(W) + P(E) - P(W \cap E)$ . Despejamos $P(E)$ :

0.354 = 0.32 + P(E) - 0.096

0.354 = 0.224 + P(E)

P(E) = 0.354 - 0.224 = 0.130

c) Calcule la probabilidad de que no tenga página web y realice ventas por comercio electrónico.

Esta probabilidad se refiere a $P(W^c \cap E)$ . Sabemos que $P(E) = P(E \cap W) + P(E \cap W^c)$ . Por lo tanto:

P(W^c \cap E) = P(E) - P(E \cap W)

P(W^c \cap E) = 0.130 - 0.096 = 0.034

d) Razone si son independientes los sucesos 'Tener página web' y 'Realizar ventas por comercio electrónico'. ¿Son incompatibles?

Independencia:Dos sucesos $W$ y $E$ son independientes si $P(W \cap E) = P(W) \cdot P(E)$ .Calculamos $P(W) \cdot P(E)$ :

P(W) \cdot P(E) = 0.32 \cdot 0.130 = 0.0416

Comparamos con $P(W \cap E)$ :

P(W \cap E) = 0.096

Dado que $0.096 \neq 0.0416$ , los sucesos 'Tener página web' y 'Realizar ventas por comercio electrónico' NO son independientes.Incompatibilidad (o mutuamente excluyentes):Dos sucesos $W$ y $E$ son incompatibles si $P(W \cap E) = 0$ .Hemos calculado que $P(W \cap E) = 0.096$ .Dado que $0.096 \neq 0$ , los sucesos 'Tener página web' y 'Realizar ventas por comercio electrónico' NO son incompatibles.