La fuerza magnética sobre una partícula cargada en movimiento se define por la expresión de la fuerza de Lorentz:

Donde $q$ es la carga de la partícula, $\vec{v}$ es su vector velocidad y $\vec{B}$ es el vector campo magnético. Por la definición del producto vectorial, la fuerza magnética $\vec{F}_m$ es siempre perpendicular al vector velocidad $\vec{v}$ de la partícula ($\vec{F}_m \perp \vec{v}$).El trabajo realizado por una fuerza sobre una partícula se calcula como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento, o para una fuerza instantánea, la potencia instantánea es $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$. Si la fuerza es constante en dirección y magnitud respecto al desplazamiento, el trabajo se define como $W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} = F \Delta r \cos \theta$. Para una fuerza que actúa sobre una partícula en movimiento, la potencia instantánea es $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$. El trabajo total realizado es la integral de la potencia en el tiempo.Dado que la fuerza magnética $\vec{F}_m$ es siempre perpendicular a la velocidad $\vec{v}$ de la partícula, el producto escalar entre ellos es cero:

Como $\vec{F}_m \perp \vec{v}$, se cumple que $\vec{F}_m \cdot \vec{v} = 0$. Por lo tanto, el trabajo realizado por la fuerza magnética es nulo ($W_m = 0$). La fuerza magnética no cambia la energía cinética de la partícula, solo desvía su trayectoria, cambiando la dirección de su velocidad pero no su módulo.

Esquema: Se muestra la relación perpendicular entre la velocidad $\vec{v}$ de una carga positiva, el campo magnético $\vec{B}$ (entrante en la página) y la fuerza magnética $\vec{F}_m$ resultante. Como $\vec{F}_m$ es perpendicular a $\vec{v}$, no realiza trabajo.

Para que la trayectoria de una partícula cargada no varíe (es decir, se mueva en línea recta con velocidad constante), la fuerza neta que actúa sobre ella debe ser cero. En esta región, la partícula experimenta dos fuerzas:1. La fuerza eléctrica:

2. La fuerza magnética (Fuerza de Lorentz):

La fuerza total sobre la partícula es la suma vectorial de ambas:

Para que la trayectoria no varíe, $\vec{F}_{total} = 0$. Por lo tanto:

Como $q \neq 0$ (es una partícula cargada), podemos dividir por $q$:

Esta condición implica que la fuerza eléctrica y la fuerza magnética deben ser de igual magnitud y de direcciones opuestas. La dirección de $\vec{v} \times \vec{B}$ es perpendicular tanto a $\vec{v}$ como a $\vec{B}$. Dado que se nos indica que $\vec{E}$ es perpendicular a $\vec{B}$ y $\vec{v}$ es perpendicular a $\vec{E}$ y $\vec{B}$, esto es consistente.En cuanto a las magnitudes, como $\vec{v}$ es perpendicular a $\vec{B}$ ($|\vec{v} \times \vec{B}| = vB \sin(90^\circ) = vB$), la condición para que las fuerzas se anulen es:

Por lo tanto, la condición para que la trayectoria de la partícula cargada no varíe es que la velocidad de la partícula sea igual a la relación entre la magnitud del campo eléctrico y la magnitud del campo magnético, y que las fuerzas eléctrica y magnética sean opuestas en dirección.

Esquema: Si, como en el caso anterior, el campo magnético $\vec{B}$ es entrante y la velocidad $\vec{v}$ es hacia la derecha para una carga positiva, la fuerza magnética $\vec{F}_m$ actuará hacia abajo. Para que la trayectoria no se desvíe, debe existir un campo eléctrico $\vec{E}$ dirigido hacia arriba, de tal manera que la fuerza eléctrica $\vec{F}_e = q\vec{E}$ actúe hacia arriba y sea de igual magnitud que $\vec{F}_m$ ($F_e = F_m$). En esta configuración, los campos $\vec{E}$ (arriba) y $\vec{B}$ (entrante) son perpendiculares entre sí, y la velocidad $\vec{v}$ (derecha) es perpendicular a ambos.