T1: Interacción gravitatoria · Satélites — FISICA PEvAU Andaluc%2525C3%2525ADa 2021

Satélites

Problema

2021 · Ordinaria · Suplente

A.1-b

b) Un satélite artificial de

800 \text{ kg}

de masa se sitúa en una órbita de radio cuatro veces el radio de la Tierra. i) Determine su periodo orbital. ii) Calcule la energía necesaria para ponerlo en la órbita desde la superficie terrestre, despreciando la rotación de la Tierra.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ ; $M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}$ ; $R_T = 6370 \text{ km}$ .

Periodo orbitalEnergía orbitalÓrbita circular

b) i) Periodo orbital del satélite

Un satélite en órbita circular alrededor de la Tierra está sujeto a la fuerza gravitatoria, que actúa como fuerza centrípeta. Establecemos la igualdad entre la fuerza gravitatoria y la fuerza centrípeta.

F_G = F_c

G \frac{M_T m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}

Simplificando la masa del satélite ( $m$ ) y un radio ( $r$ ), obtenemos la velocidad orbital al cuadrado:

v^2 = G \frac{M_T}{r}

La velocidad orbital también se relaciona con el periodo ( $T$ ) y el radio ( $r$ ) de la órbita mediante la expresión:

v = \frac{2 \pi r}{T}

Sustituyendo esta expresión de la velocidad en la ecuación anterior, obtenemos la Tercera Ley de Kepler:

\left(\frac{2 \pi r}{T}\right)^2 = G \frac{M_T}{r} \implies \frac{4 \pi^2 r^2}{T^2} = G \frac{M_T}{r}

T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{G M_T} \implies T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_T}}

Primero calculamos el radio de la órbita en metros:

R_T = 6370 \text{ km} = 6.37 \cdot 10^6 \text{ m}

r = 4 R_T = 4 \cdot (6.37 \cdot 10^6 \text{ m}) = 2.548 \cdot 10^7 \text{ m}

Ahora, sustituimos los valores en la fórmula del periodo orbital:

T = 2 \pi \sqrt{\frac{(2.548 \cdot 10^7 \text{ m})^3}{(6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (5.98 \cdot 10^{24} \text{ kg})}}

T = 2 \pi \sqrt{\frac{1.65422 \cdot 10^{22} \text{ m}^3}{3.98866 \cdot 10^{14} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-1}}} = 2 \pi \sqrt{4.1472 \cdot 10^7 \text{ s}^2}

T \approx 2 \pi \cdot 6439.87 \text{ s} \approx 40462.6 \text{ s}

Convertimos el periodo a horas para una mejor comprensión:

T = \frac{40462.6 \text{ s}}{3600 \text{ s/h}} \approx 11.24 \text{ h}

b) ii) Energía necesaria para ponerlo en órbita

La energía necesaria para colocar el satélite en órbita es la diferencia entre su energía mecánica final (en órbita) y su energía mecánica inicial (en la superficie terrestre). Despreciamos la rotación de la Tierra, por lo que la energía cinética inicial es cero.La energía mecánica total de un objeto es la suma de su energía cinética y su energía potencial gravitatoria.

E = E_k + E_p

E_p = -G \frac{M_T m}{R}

1. Energía inicial (en la superficie terrestre, $R=R_T$ )

E_{k,i} = 0 \text{ (se desprecia la rotación de la Tierra)}

E_{p,i} = -G \frac{M_T m}{R_T}

E_i = E_{k,i} + E_{p,i} = -G \frac{M_T m}{R_T}

2. Energía final (en la órbita, $R=r$ ) En órbita circular, la energía cinética se relaciona con la energía potencial. Sabemos que $v^2 = G \frac{M_T}{r}$ .

E_{k,f} = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \left(G \frac{M_T}{r}\right) = \frac{1}{2} G \frac{M_T m}{r}

E_{p,f} = -G \frac{M_T m}{r}

E_f = E_{k,f} + E_{p,f} = \frac{1}{2} G \frac{M_T m}{r} - G \frac{M_T m}{r} = -\frac{1}{2} G \frac{M_T m}{r}

3. Energía necesaria

E_{necesaria} = E_f - E_i = \left(- \frac{1}{2} G \frac{M_T m}{r}\right) - \left(-G \frac{M_T m}{R_T}\right)

E_{necesaria} = G M_T m \left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2r}\right)

Sustituimos los valores conocidos:

G = 6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}

M_T = 5.98 \cdot 10^{24} \text{ kg}

m = 800 \text{ kg}

R_T = 6.37 \cdot 10^6 \text{ m}

r = 2.548 \cdot 10^7 \text{ m}

E_{necesaria} = (6.67 \cdot 10^{-11}) \cdot (5.98 \cdot 10^{24}) \cdot (800) \cdot \left(\frac{1}{6.37 \cdot 10^6} - \frac{1}{2 \cdot 2.548 \cdot 10^7}\right) \text{ J}

E_{necesaria} = (3.1893 \cdot 10^{17}) \cdot \left(1.56986 \cdot 10^{-7} - 1.9623 \cdot 10^{-8}\right) \text{ J}

E_{necesaria} = (3.1893 \cdot 10^{17}) \cdot (1.37363 \cdot 10^{-7}) \text{ J}

E_{necesaria} \approx 4.381 \cdot 10^{10} \text{ J}