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T3: Programación lineal
Región factible y optimización
Problema
2021 · Ordinaria · Suplente
2
Examen

Se consideran las siguientes inecuaciones:

5x−3y≥−9x+y≤116x+y≤36x+2y≥65x - 3y \geq -9 \quad x + y \leq 11 \quad 6x + y \leq 36 \quad x + 2y \geq 6
a) Represente la región factible definida por las inecuaciones anteriores y determine sus vértices.b) ¿Pertenece el punto (5,7)(5, 7) a la región factible anterior?c) Calcule los valores máximo y mínimo de la función F(x,y)=10x−6yF(x, y) = 10x - 6y en la región anterior y determine los puntos en los que se alcanzan.
Región factibleVérticesOptimización
Resolución de Programación Lineal
a) Represente la región factible definida por las inecuaciones anteriores y determine sus vértices.

Para determinar la región factible, primero transformamos las inecuaciones en igualdades para obtener las rectas que limitan el recinto y calculamos sus puntos de corte:Recta r1r_1: 5x−3y=−95x - 3y = -9 Recta r2r_2: x+y=11x + y = 11 Recta r3r_3: 6x+y=366x + y = 36 Recta r4r_4: x+2y=6x + 2y = 6 Calculamos los vértices de la región resolviendo los sistemas de ecuaciones entre las rectas adyacentes:

Vértice AA (Cruce de r1r_1 y r4r_4):
{5x−3y=−9x+2y=6→x=6−2y\begin{cases} 5x - 3y = -9 \\ x + 2y = 6 \rightarrow x = 6 - 2y \end{cases}

Sustituyendo: 5(6−2y)−3y=−9⇒30−10y−3y=−9⇒−13y=−39⇒y=35(6 - 2y) - 3y = -9 \Rightarrow 30 - 10y - 3y = -9 \Rightarrow -13y = -39 \Rightarrow y = 3. Entonces x=6−2(3)=0x = 6 - 2(3) = 0. El punto es A(0,3)A(0, 3).

Vértice BB (Cruce de r1r_1 y r2r_2):
{5x−3y=−9x+y=11→x=11−y\begin{cases} 5x - 3y = -9 \\ x + y = 11 \rightarrow x = 11 - y \end{cases}

Sustituyendo: 5(11−y)−3y=−9⇒55−5y−3y=−9⇒−8y=−64⇒y=85(11 - y) - 3y = -9 \Rightarrow 55 - 5y - 3y = -9 \Rightarrow -8y = -64 \Rightarrow y = 8. Entonces x=11−8=3x = 11 - 8 = 3. El punto es B(3,8)B(3, 8).

Vértice CC (Cruce de r2r_2 y r3r_3):
{x+y=116x+y=36\begin{cases} x + y = 11 \\ 6x + y = 36 \end{cases}

Restando la primera a la segunda: 5x=25⇒x=55x = 25 \Rightarrow x = 5. Entonces y=11−5=6y = 11 - 5 = 6. El punto es C(5,6)C(5, 6).

Vértice DD (Cruce de r3r_3 y r4r_4):
{6x+y=36→y=36−6xx+2y=6\begin{cases} 6x + y = 36 \rightarrow y = 36 - 6x \\ x + 2y = 6 \end{cases}

Sustituyendo: x+2(36−6x)=6⇒x+72−12x=6⇒−11x=−66⇒x=6x + 2(36 - 6x) = 6 \Rightarrow x + 72 - 12x = 6 \Rightarrow -11x = -66 \Rightarrow x = 6. Entonces y=36−6(6)=0y = 36 - 6(6) = 0. El punto es D(6,0)D(6, 0).

b) ¿Pertenece el punto (5,7)(5, 7) a la región factible anterior?

Para que el punto (5,7)(5, 7) pertenezca a la región, debe cumplir todas las inecuaciones del sistema:1) 5(5)−3(7)=25−21=4≥−95(5) - 3(7) = 25 - 21 = 4 \geq -9 (Cumple) 2) 5+7=12≤115 + 7 = 12 \leq 11 (Falso, 1212 no es menor o igual que 1111) 3) 6(5)+7=37≤366(5) + 7 = 37 \leq 36 (Falso) 4) 5+2(7)=19≥65 + 2(7) = 19 \geq 6 (Cumple)Como no cumple las inecuaciones x+y≤11x + y \leq 11 ni 6x+y≤366x + y \leq 36, el punto (5,7)(5, 7) no pertenece a la región factible.

c) Calcule los valores máximo y mínimo de la función F(x,y)=10x−6yF(x, y) = 10x - 6y en la región anterior y determine los puntos en los que se alcanzan.

Evaluamos la función objetivo en cada uno de los vértices hallados:F(A)=F(0,3)=10(0)−6(3)=−18F(A) = F(0, 3) = 10(0) - 6(3) = -18 F(B)=F(3,8)=10(3)−6(8)=30−48=−18F(B) = F(3, 8) = 10(3) - 6(8) = 30 - 48 = -18 F(C)=F(5,6)=10(5)−6(6)=50−36=14F(C) = F(5, 6) = 10(5) - 6(6) = 50 - 36 = 14 F(D)=F(6,0)=10(6)−6(0)=60F(D) = F(6, 0) = 10(6) - 6(0) = 60

5x-3y≥-9x+y≤116x+y≤36x+2y≥6A(0, 3)B(3, 8)C(5, 6)D(6, 0)Máx: z = 6002468246810xyF(x,y)=10x-6y

El valor máximo es 6060 y se alcanza en el vértice D(6,0)D(6, 0).El valor mínimo es −18-18. Al coincidir el valor en los vértices A(0,3)A(0, 3) y B(3,8)B(3, 8), debido a que el vector director de la función objetivo es proporcional al de la recta r1r_1, el mínimo se alcanza en todos los puntos del segmento que une AA y BB.