T5: Integrales · Teoremas fundamentales del cálculo — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%2525C3%2525ADa 2023

Teoremas fundamentales del cálculo

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

Considera la función $F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $F(x) = \int_{0}^{x} \text{sen}(t^2) dt$ . Calcula $\lim_{x \to 0} \frac{xF(x)}{\text{sen}(x^2)}$ .

Función integralLímitesRegla de L'Hôpital

Cálculo del límite de una función integral

Se nos pide calcular el límite de la función $F(x)$ definida por una integral en el contexto de un cociente. La expresión es la siguiente:

L = \lim_{x \to 0} \frac{x F(x)}{\text{sen}(x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x \int_{0}^{x} \text{sen}(t^2) dt}{\text{sen}(x^2)}

Primero, evaluamos el límite directamente para identificar la forma indeterminada. Puesto que el límite superior de la integral es $x = 0$ , tenemos $F(0) = \int_{0}^{0} \text{sen}(t^2) dt = 0$ . Además, $\text{sen}(0^2) = 0$ . Por lo tanto, el límite presenta una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ .Aplicamos la Regla de L'Hôpital, derivando el numerador y el denominador respecto a $x$ :

L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} [x F(x)]}{\frac{d}{dx} [\text{sen}(x^2)]}

Para el numerador, utilizamos la regla de la derivada de un producto y el Teorema Fundamental del Cálculo, que indica que $F'(x) = \text{sen}(x^2)$ :

\frac{d}{dx} [x F(x)] = 1 \cdot F(x) + x \cdot F'(x) = F(x) + x \text{sen}(x^2)

Para el denominador, aplicamos la regla de la cadena:

\frac{d}{dx} [\text{sen}(x^2)] = 2x \cos(x^2)

Sustituyendo estas expresiones en el límite, obtenemos:

L = \lim_{x \to 0} \frac{F(x) + x \text{sen}(x^2)}{2x \cos(x^2)}

Al evaluar nuevamente en $x = 0$ , observamos que persiste la indeterminación $\frac{0}{0}$ . Aplicamos la Regla de L'Hôpital por segunda vez:

L = \lim_{x \to 0} \frac{F'(x) + \text{sen}(x^2) + 2x^2 \cos(x^2)}{2 \cos(x^2) - 4x^2 \text{sen}(x^2)}

Sabiendo que $F'(x) = \text{sen}(x^2)$ , simplificamos el numerador:

L = \lim_{x \to 0} \frac{2 \text{sen}(x^2) + 2x^2 \cos(x^2)}{2 \cos(x^2) - 4x^2 \text{sen}(x^2)}

Finalmente, evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$ :

L = \frac{2 \text{sen}(0) + 2(0)^2 \cos(0)}{2 \cos(0) - 4(0)^2 \text{sen}(0)} = \frac{0 + 0}{2 - 0} = \frac{0}{2} = 0

Por lo tanto, el valor del límite es $0$ .