Para la función $f(x) = (x^2 + 2)^3 \cdot e^{-2x}$, aplicamos la regla del producto $(uv)' = u'v + uv'$, donde $u = (x^2 + 2)^3$ y $v = e^{-2x}$.Primero calculamos las derivadas de $u$ y $v$:

Aplicando la regla del producto:

Sacamos factor común $2e^{-2x}(x^2+2)^2$:

Para la función $g(x) = \frac{\ln(1 - x^3)}{(1 - 2x^2)^2}$, aplicamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, donde $u = \ln(1 - x^3)$ y $v = (1 - 2x^2)^2$.Primero calculamos las derivadas de $u$ y $v$:

Aplicando la regla del cociente:

Multiplicamos el numerador y el denominador por $(1 - x^3)$ para simplificar:

Sacamos factor común $(1 - 2x^2)$ en el numerador:

Para que la recta tangente a la gráfica de $h(x)$ en el punto $P(1, 2)$ sea horizontal, se deben cumplir dos condiciones:1. El punto $P(1, 2)$ debe pertenecer a la gráfica de $h(x)$, es decir, $h(1) = 2$.2. La pendiente de la recta tangente en $x = 1$ debe ser cero, es decir, $h'(1) = 0$.Primero, calculamos la derivada de $h(x)$:

Ahora, aplicamos la condición $h'(1) = 0$:

Finalmente, aplicamos la condición $h(1) = 2$ con el valor de $a = -3$:

Los valores de $a$ y $b$ son $a = -3$ y $b = 1$.