T3: Espacio afín y euclideo · Geometría en el espacio — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%2525C3%2525ADa 2023

Geometría en el espacio

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

El plano perpendicular al segmento de extremos $P(0, 3, 8)$ y $Q(2, 1, 6)$ que pasa por su punto medio corta a los ejes coordenados en los puntos $A, B$ y $C$ . Halla el área del triángulo cuyos vértices son los puntos $A, B$ y $C$ .

Plano perpendicularIntersección con ejesÁrea de un triángulo

Determinación del plano perpendicular al segmento PQ

En primer lugar, calculamos el punto medio $M$ del segmento de extremos $P(0, 3, 8)$ y $Q(2, 1, 6)$ :

M = \left( \frac{0+2}{2}, \frac{3+1}{2}, \frac{8+6}{2} \right) = (1, 2, 7)

El vector normal $\vec{n}$ del plano $\pi$ es el vector que une los puntos $P$ y $Q$ :

\vec{PQ} = (2-0, 1-3, 6-8) = (2, -2, -2)

Podemos simplificar el vector normal tomando $\vec{n} = (1, -1, -1)$ . La ecuación general del plano $\pi$ que pasa por $M(1, 2, 7)$ es:

1(x - 1) - 1(y - 2) - 1(z - 7) = 0 \implies x - y - z + 8 = 0

Cálculo de los puntos de corte con los ejes

Calculamos los puntos de intersección del plano con los ejes coordenados:Corte con el eje $X$ ( $y=0, z=0$ ): $x + 8 = 0 \implies x = -8$ . Punto $A(-8, 0, 0)$ .Corte con el eje $Y$ ( $x=0, z=0$ ): $-y + 8 = 0 \implies y = 8$ . Punto $B(0, 8, 0)$ .Corte con el eje $Z$ ( $x=0, y=0$ ): $-z + 8 = 0 \implies z = 8$ . Punto $C(0, 0, 8)$ .

Área del triángulo ABC

El área del triángulo se calcula mediante la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores que partan del mismo vértice, por ejemplo $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ :

\vec{AB} = (0 - (-8), 8 - 0, 0 - 0) = (8, 8, 0)

\vec{AC} = (0 - (-8), 0 - 0, 8 - 0) = (8, 0, 8)

Calculamos el producto vectorial:

\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 8 & 8 & 0 \\ 8 & 0 & 8 \end{vmatrix} = 64\vec{i} - 64\vec{j} - 64\vec{k} = (64, -64, -64)

Calculamos el módulo de este vector y el área final:

|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{64^2 + (-64)^2 + (-64)^2} = \sqrt{3 \cdot 64^2} = 64\sqrt{3}

\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{64\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3} \text{ unidades}^2