AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T5: Integrales
Cálculo de primitivas
Problema
2024 · Ordinaria · Titular
4
Examen

Halla la función f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} tal que f′′(x)=xcos⁡(x)f''(x) = x \cos(x) y cuya gráfica pasa por los puntos (0,π2)\left(0, \frac{\pi}{2}\right) y (π,2π)(\pi, 2\pi).

PrimitivaSegunda derivadaIntegración por partes
Cálculo de la función mediante integración

Para hallar la función f(x)f(x) a partir de su segunda derivada f′′(x)=xcos⁡(x)f''(x) = x \cos(x), debemos realizar dos integraciones sucesivas.En primer lugar, calculamos la primera derivada f′(x)f'(x) integrando la expresión dada. Para ello, utilizamos el método de integración por partes, donde definimos u=xu = x y dv=cos⁡(x)dxdv = \cos(x) dx, lo que implica du=dxdu = dx y v=sin⁡(x)v = \sin(x):

f′(x)=∫xcos⁡(x)dx=xsin⁡(x)−∫sin⁡(x)dx=xsin⁡(x)+cos⁡(x)+C1f'(x) = \int x \cos(x) dx = x \sin(x) - \int \sin(x) dx = x \sin(x) + \cos(x) + C_1

A continuación, integramos f′(x)f'(x) para obtener la función original f(x)f(x). Dividimos la integral en tres sumandos:

f(x)=∫(xsin⁡(x)+cos⁡(x)+C1)dx=∫xsin⁡(x)dx+∫cos⁡(x)dx+∫C1dxf(x) = \int (x \sin(x) + \cos(x) + C_1) dx = \int x \sin(x) dx + \int \cos(x) dx + \int C_1 dx

Calculamos la integral de xsin⁡(x)x \sin(x) aplicando de nuevo el método por partes con u=xu = x y dv=sin⁡(x)dxdv = \sin(x) dx (por tanto du=dxdu = dx y v=−cos⁡(x)v = -\cos(x)):

∫xsin⁡(x)dx=−xcos⁡(x)−∫−cos⁡(x)dx=−xcos⁡(x)+sin⁡(x)\int x \sin(x) dx = -x \cos(x) - \int -\cos(x) dx = -x \cos(x) + \sin(x)

Sustituyendo este resultado y calculando las integrales restantes, obtenemos la expresión general de f(x)f(x):

f(x)=(−xcos⁡(x)+sin⁡(x))+sin⁡(x)+C1x+C2=−xcos⁡(x)+2sin⁡(x)+C1x+C2f(x) = (-x \cos(x) + \sin(x)) + \sin(x) + C_1 x + C_2 = -x \cos(x) + 2 \sin(x) + C_1 x + C_2

Determinamos las constantes C1C_1 y C2C_2 utilizando los puntos por los que pasa la gráfica de la función. Primero, usamos el punto (0,π/2)(0, \pi/2), es decir, f(0)=π2f(0) = \frac{\pi}{2}:

f(0)=−0⋅cos⁡(0)+2sin⁡(0)+C1⋅0+C2=π2  ⟹  C2=π2f(0) = -0 \cdot \cos(0) + 2 \sin(0) + C_1 \cdot 0 + C_2 = \frac{\pi}{2} \implies C_2 = \frac{\pi}{2}

Después, utilizamos el punto (π,2π)(\pi, 2\pi), es decir, f(π)=2πf(\pi) = 2\pi, teniendo en cuenta que cos⁡(π)=−1\cos(\pi) = -1 y sin⁡(π)=0\sin(\pi) = 0:

f(π)=−πcos⁡(π)+2sin⁡(π)+C1π+π2=2πf(\pi) = -\pi \cos(\pi) + 2 \sin(\pi) + C_1 \pi + \frac{\pi}{2} = 2\pi
π+0+C1π+π2=2π  ⟹  C1π=2π−π−π2=π2  ⟹  C1=12\pi + 0 + C_1 \pi + \frac{\pi}{2} = 2\pi \implies C_1 \pi = 2\pi - \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \implies C_1 = \frac{1}{2}

Finalmente, sustituimos los valores de las constantes en la expresión general para obtener la función buscada:

f(x)=−xcos⁡(x)+2sin⁡(x)+12x+π2f(x) = -x \cos(x) + 2 \sin(x) + \frac{1}{2}x + \frac{\pi}{2}