T6: Física nuclear · Cálculos de radiactividad — FISICA PEvAU Andaluc%2525C3%2525ADa 2018

Cálculos de radiactividad

Problema

2018 · Extraordinaria · Reserva

4A-b

b) Uno de los isótopos que se suele utilizar en radioterapia es el

\ce{^{60}Co}

. La actividad de una muestra se reduce a la milésima parte en

52,34

años. Si tenemos

2 \cdot 10^{15}

núcleos inicialmente, determine la actividad de la muestra al cabo de dos años.

cobalto-60actividadnúcleos radiactivos+1

b) Determinación de la actividad del

\ce{^{60}Co}

al cabo de dos años.

Paso 1: Hallar la constante de desintegración λ

La ley de desintegración radiactiva establece que el número de núcleos varía como:

N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}

Si la actividad se reduce a la milésima parte en $t = 52{,}34$ años, como la actividad es proporcional al número de núcleos ( $A = \lambda N$ ), también el número de núcleos se reduce a la milésima parte:

\frac{N(t)}{N_0} = \frac{1}{1000} = e^{-\lambda \cdot 52{,}34}

Tomando logaritmos naturales:

\ln\left(\frac{1}{1000}\right) = -\lambda \cdot 52{,}34

-\ln(1000) = -\lambda \cdot 52{,}34 \implies \lambda = \frac{\ln(1000)}{52{,}34} = \frac{6{,}9078}{52{,}34} \approx 0{,}1320 \text{ años}^{-1}

Convertimos $\lambda$ a segundos ( $1$ año $= 3{,}156 \times 10^7$ s):

\lambda = \frac{0{,}1320}{3{,}156 \times 10^7 \text{ s}} \approx 4{,}182 \times 10^{-9} \text{ s}^{-1}

Paso 2: Calcular el número de núcleos a los 2 años

N(2) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot 2} = 2 \times 10^{15} \cdot e^{-0{,}1320 \times 2}

N(2) = 2 \times 10^{15} \cdot e^{-0{,}2640} = 2 \times 10^{15} \cdot 0{,}7679 \approx 1{,}5358 \times 10^{15} \text{ núcleos}

Paso 3: Calcular la actividad a los 2 años

La actividad se define como $A = \lambda \cdot N$ , siendo $\lambda$ en $\text{s}^{-1}$ y $N$ el número de núcleos en ese instante:

A(2) = \lambda \cdot N(2) = 4{,}182 \times 10^{-9} \text{ s}^{-1} \times 1{,}5358 \times 10^{15}

A(2) \approx 6{,}422 \times 10^{6} \text{ Bq} \approx 6{,}42 \times 10^{6} \text{ Bq}

La actividad de la muestra al cabo de dos años es aproximadamente $6{,}42 \times 10^6$ Bq (becquerelios).