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T2: Interacción electromagnética
Inducción electromagnética
Teoría
2018 · Extraordinaria · Suplente
2A-a
Examen

Una espira circular gira en torno a uno de sus diámetros en un campo magnético uniforme.

2. a) Razone, haciendo uso de las representaciones gráficas y las expresiones que precise, si se induce fuerza electromotriz en la espira en los dos siguientes casos: (i) El campo magnético es paralelo al eje de rotación; (ii) el campo magnético es perpendicular al eje de rotación.
Ley de FaradayFlujo magnéticoFuerza electromotriz
Espira circular girando en campo magnético uniforme

La fuerza electromotriz (fem) inducida en la espira viene dada por la Ley de Faraday:

ε=−dΦBdt\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt}

donde el flujo magnético a través de la espira es:

ΦB=B⃗⋅A⃗=B⋅A⋅cos⁡θ\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = B \cdot A \cdot \cos\theta

siendo θ\theta el ángulo entre el campo magnético B⃗\vec{B} y el vector área A⃗\vec{A} (normal a la espira). La espira gira con velocidad angular ω\omega, de modo que θ=ωt+θ0\theta = \omega t + \theta_0. Hay que analizar qué ocurre en cada caso.

a)(i) Campo magnético paralelo al eje de rotación

Si B⃗\vec{B} es paralelo al eje de rotación, el eje de giro coincide con la dirección del campo. El vector área A⃗\vec{A} de la espira es perpendicular al plano de la espira y, al girar la espira en torno al eje (que es paralelo a B⃗\vec{B}), dicho vector normal A⃗\vec{A} también gira, pero siempre permanece perpendicular al eje de rotación. En consecuencia, el ángulo entre B⃗\vec{B} y A⃗\vec{A} siempre vale θ=90∘\theta = 90^\circ.

\Phi_B = B \cdot A \cdot \cos(90^\circ) = 0 \quad \text{(constante)}

Como el flujo es nulo y constante en todo momento, su derivada temporal es cero:

ε=−dΦBdt=0\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt} = 0

No se induce ninguna fem en la espira. Gráficamente, tanto el flujo como la fem son nulos para todo instante tt:

ΦB(t)=0⇒ε(t)=0\Phi_B(t) = 0 \quad \Rightarrow \quad \varepsilon(t) = 0
a)(ii) Campo magnético perpendicular al eje de rotación

Si B⃗\vec{B} es perpendicular al eje de rotación, al girar la espira el ángulo entre B⃗\vec{B} y A⃗\vec{A} varía continuamente con el tiempo: θ=ωt\theta = \omega t (tomando θ0=0\theta_0 = 0). El flujo resulta:

ΦB(t)=B⋅A⋅cos⁡(ωt)\Phi_B(t) = B \cdot A \cdot \cos(\omega t)

El flujo es una función sinusoidal del tiempo que varía entre +BA+BA y −BA-BA. Aplicando la Ley de Faraday:

ε=−dΦBdt=−ddt[BAcos⁡(ωt)]=BAωsin⁡(ωt)=ε0sin⁡(ωt)\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\frac{d}{dt}\left[B A \cos(\omega t)\right] = B A \omega \sin(\omega t) = \varepsilon_0 \sin(\omega t)

donde ε0=BAω\varepsilon_0 = B A \omega es el valor máximo (amplitud) de la fem inducida. La fem es una función sinusoidal que varía continuamente con el tiempo. Sí se induce fem en la espira.Representación gráfica del flujo y de la fem inducida en función del tiempo:

ΦB(t)=BAcos⁡(ωt)ε(t)=BAωsin⁡(ωt)\Phi_B(t) = BA\cos(\omega t) \qquad \varepsilon(t) = BA\omega\sin(\omega t)

El flujo ΦB\Phi_B describe una onda coseno y la fem ε\varepsilon describe una onda seno (desfasada 90∘90^\circ respecto al flujo). Cuando el flujo es máximo o mínimo (espira perpendicular a B⃗\vec{B}), la fem es nula; cuando el flujo es nulo (espira paralela a B⃗\vec{B}), la fem es máxima.

Conclusión
Caso (i): B⃗\vec{B} paralelo al eje de rotación → el flujo es siempre nulo, ε=0\varepsilon = 0. No se induce fem.Caso (ii): B⃗\vec{B} perpendicular al eje de rotación → el flujo varía sinusoidalmente, y se induce una fem alterna ε=BAωsin⁡(ωt)\varepsilon = BA\omega\sin(\omega t). Este es el principio de funcionamiento de un alternador.