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T2: Interacción electromagnética
Electromagnetismo
Teoría
2017 · Extraordinaria · Reserva
2A-a
Examen
a) Una carga qq negativa entra, con velocidad v⃗\vec{v}, en una zona donde existe un campo eléctrico, E⃗\vec{E}, de dirección perpendicular a esa velocidad. Cuál debe ser la intensidad, dirección y sentido del campo magnético B⃗\vec{B} que habría que aplicar, superpuesto a E⃗\vec{E}, para que la carga siguiera una trayectoria rectilínea.
fuerza de Lorentzcampo eléctricocampo magnético
a) Para que la carga siga una trayectoria rectilínea, la fuerza eléctrica y la fuerza magnética deben compensarse exactamente, es decir, la fuerza neta sobre la carga debe ser cero (selector de velocidades).

Establecemos un sistema de referencia. Supongamos que la carga negativa qq se mueve con velocidad v⃗\vec{v} en la dirección del eje +x+x, y que el campo eléctrico E⃗\vec{E} apunta en la dirección +y+y (perpendicular a v⃗\vec{v}).

B (entrante)⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗-vF
Fuerza eléctrica sobre la carga

La fuerza eléctrica sobre una carga negativa es opuesta al campo eléctrico:

F⃗E=qE⃗=(−∣q∣)E⃗\vec{F}_E = q\vec{E} = (-|q|)\vec{E}

Si E⃗=E j^\vec{E} = E\,\hat{j} (apunta en +y+y), entonces la fuerza eléctrica sobre la carga negativa apunta en la dirección −y-y:

F⃗E=−∣q∣E j^\vec{F}_E = -|q|E\,\hat{j}
Condición de equilibrio

Para trayectoria rectilínea uniforme, la fuerza magnética debe cancelar la fuerza eléctrica:

F⃗E+F⃗B=0⃗  ⟹  F⃗B=+∣q∣E j^\vec{F}_E + \vec{F}_B = \vec{0} \implies \vec{F}_B = +|q|E\,\hat{j}

La fuerza magnética sobre la carga es:

F⃗B=qv⃗×B⃗=(−∣q∣)v⃗×B⃗\vec{F}_B = q\vec{v} \times \vec{B} = (-|q|)\vec{v} \times \vec{B}
Determinación del campo magnético

Con v⃗=v i^\vec{v} = v\,\hat{i}, necesitamos que (−∣q∣)(v i^×B⃗)(-|q|)(v\,\hat{i} \times \vec{B}) apunte en +y+y. Probamos B⃗=B k^\vec{B} = B\,\hat{k} (saliente, dirección +z+z):

i^×k^=−j^\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}
F⃗B=(−∣q∣)(v i^)×(B k^)=−∣q∣vB(i^×k^)=−∣q∣vB(−j^)=+∣q∣vB j^\vec{F}_B = (-|q|)(v\,\hat{i}) \times (B\,\hat{k}) = -|q|vB(\hat{i}\times\hat{k}) = -|q|vB(-\hat{j}) = +|q|vB\,\hat{j}

Esto apunta en +y+y, que es justo lo que necesitamos para compensar F⃗E\vec{F}_E. La condición de equilibrio da:

∣q∣vB=∣q∣E  ⟹  B=Ev|q|vB = |q|E \implies B = \frac{E}{v}
Resultado

El campo magnético que debe aplicarse tiene:

Intensidad (módulo): B=EvB = \dfrac{E}{v}Dirección: perpendicular al plano formado por v⃗\vec{v} y E⃗\vec{E} (es decir, dirección del eje zz).Sentido: saliente del plano (en +z+z, es decir, B⃗=Ev k^\vec{B} = \dfrac{E}{v}\,\hat{k}), de modo que la fuerza magnética sobre la carga negativa se oponga a la fuerza eléctrica y ambas se anulen.

En resumen, este dispositivo actúa como un selector de velocidades: solo las cargas con v=E/Bv = E/B siguen trayectoria rectilínea, independientemente de su masa o carga.