Resolución del ejercicio
Sea C ( x , y , z ) C(x, y, z) C ( x , y , z ) el punto buscado. Dado que el punto C C C se encuentra en el plano O X Z OXZ O X Z , su coordenada y y y debe ser igual a cero. Por tanto, el punto es de la forma C ( x , 0 , z ) C(x, 0, z) C ( x , 0 , z ) . Para que el triángulo A B C ABC A B C sea equilátero, las distancias entre sus vértices deben ser iguales: d ( A , B ) = d ( A , C ) = d ( B , C ) d(A, B) = d(A, C) = d(B, C) d ( A , B ) = d ( A , C ) = d ( B , C ) . Primero, calculamos la longitud del lado del triángulo utilizando los puntos A ( 4 , 0 , 0 ) A(4, 0, 0) A ( 4 , 0 , 0 ) y B ( 0 , 2 , 0 ) B(0, 2, 0) B ( 0 , 2 , 0 ) :
d ( A , B ) = ( 0 − 4 ) 2 + ( 2 − 0 ) 2 + ( 0 − 0 ) 2 = ( − 4 ) 2 + 2 2 + 0 2 = 16 + 4 = 20 d(A, B) = \sqrt{(0-4)^2 + (2-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} d ( A , B ) = ( 0 − 4 ) 2 + ( 2 − 0 ) 2 + ( 0 − 0 ) 2 = ( − 4 ) 2 + 2 2 + 0 2 = 16 + 4 = 20 Por comodidad, trabajaremos con los cuadrados de las distancias: d ( A , B ) 2 = d ( A , C ) 2 = d ( B , C ) 2 = 20 d(A, B)^2 = d(A, C)^2 = d(B, C)^2 = 20 d ( A , B ) 2 = d ( A , C ) 2 = d ( B , C ) 2 = 20 . Planteamos el sistema de ecuaciones con C ( x , 0 , z ) C(x, 0, z) C ( x , 0 , z ) :
1 ) d ( A , C ) 2 = ( x − 4 ) 2 + ( 0 − 0 ) 2 + ( z − 0 ) 2 = 20 ⟹ ( x − 4 ) 2 + z 2 = 20 1) \quad d(A, C)^2 = (x-4)^2 + (0-0)^2 + (z-0)^2 = 20 \implies (x-4)^2 + z^2 = 20 1 ) d ( A , C ) 2 = ( x − 4 ) 2 + ( 0 − 0 ) 2 + ( z − 0 ) 2 = 20 ⟹ ( x − 4 ) 2 + z 2 = 20 2 ) d ( B , C ) 2 = ( x − 0 ) 2 + ( 0 − 2 ) 2 + ( z − 0 ) 2 = 20 ⟹ x 2 + 4 + z 2 = 20 ⟹ x 2 + z 2 = 16 2) \quad d(B, C)^2 = (x-0)^2 + (0-2)^2 + (z-0)^2 = 20 \implies x^2 + 4 + z^2 = 20 \implies x^2 + z^2 = 16 2 ) d ( B , C ) 2 = ( x − 0 ) 2 + ( 0 − 2 ) 2 + ( z − 0 ) 2 = 20 ⟹ x 2 + 4 + z 2 = 20 ⟹ x 2 + z 2 = 16 De la segunda ecuación, despejamos z 2 z^2 z 2 :
z 2 = 16 − x 2 z^2 = 16 - x^2 z 2 = 16 − x 2 Sustituimos z 2 z^2 z 2 en la primera ecuación:
( x − 4 ) 2 + ( 16 − x 2 ) = 20 (x-4)^2 + (16 - x^2) = 20 ( x − 4 ) 2 + ( 16 − x 2 ) = 20 x 2 − 8 x + 16 + 16 − x 2 = 20 x^2 - 8x + 16 + 16 - x^2 = 20 x 2 − 8 x + 16 + 16 − x 2 = 20 − 8 x + 32 = 20 ⟹ − 8 x = − 12 ⟹ x = 12 8 = 3 2 -8x + 32 = 20 \implies -8x = -12 \implies x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} − 8 x + 32 = 20 ⟹ − 8 x = − 12 ⟹ x = 8 12 = 2 3 Ahora calculamos el valor de z z z sustituyendo x = 3 2 x = \frac{3}{2} x = 2 3 en z 2 = 16 − x 2 z^2 = 16 - x^2 z 2 = 16 − x 2 :
z 2 = 16 − ( 3 2 ) 2 = 16 − 9 4 = 64 − 9 4 = 55 4 z^2 = 16 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 16 - \frac{9}{4} = \frac{64 - 9}{4} = \frac{55}{4} z 2 = 16 − ( 2 3 ) 2 = 16 − 4 9 = 4 64 − 9 = 4 55 z = ± 55 4 = ± 55 2 z = \pm \sqrt{\frac{55}{4}} = \pm \frac{\sqrt{55}}{2} z = ± 4 55 = ± 2 55 Los puntos del plano O X Z OXZ O X Z que forman un triángulo equilátero con A A A y B B B son:
C 1 ( 3 2 , 0 , 55 2 ) y C 2 ( 3 2 , 0 , − 55 2 ) C_1\left(\frac{3}{2}, 0, \frac{\sqrt{55}}{2}\right) \quad \text{y} \quad C_2\left(\frac{3}{2}, 0, -\frac{\sqrt{55}}{2}\right) C 1 ( 2 3 , 0 , 2 55 ) y C 2 ( 2 3 , 0 , − 2 55 ) 
