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Energía potencial gravitatoria
Teoría
2018 · Extraordinaria · Reserva
1A-a
Examen
a) Para calcular la energía potencial gravitatoria se suelen utilizar las fórmulas Ep=mghE_p = mgh y Ep=GMmrE_p = -G \frac{Mm}{r}. Indique la validez de ambas expresiones y dónde se sitúa el sistema de referencia que utiliza cada una de ellas.
energía potencialsistema de referenciacampo gravitatorio
a) Análisis de las dos expresiones de energía potencial gravitatoria:
Primera expresión: $E_p = mgh$

Esta fórmula es válida únicamente cerca de la superficie terrestre, donde el campo gravitatorio puede considerarse uniforme (es decir, gg es constante e igual a 9,8 m/s29{,}8 \ \text{m/s}^2). En estas condiciones, la variación de gg con la altura es despreciable.El sistema de referencia (el nivel donde Ep=0E_p = 0) se sitúa en el punto que el observador elige arbitrariamente como origen de alturas, habitualmente la superficie terrestre o el suelo del problema (h=0h = 0). Es, por tanto, una referencia arbitraria y local.Al ser una expresión aproximada, solo es aplicable a situaciones cotidianas próximas a la superficie: caídas, lanzamientos, planos inclinados, etc. Para alturas comparables al radio terrestre, esta expresión deja de ser válida.

Segunda expresión: $E_p = -G\dfrac{Mm}{r}$

Esta fórmula es la expresión general y exacta de la energía potencial gravitatoria, válida para cualquier distancia rr entre dos masas MM y mm, sin ninguna restricción de proximidad a la superficie.El sistema de referencia se sitúa en el infinito: cuando rr \to \infty, se tiene Ep0E_p \to 0. Es decir, el cero de energía potencial se establece en el infinito, donde la interacción gravitatoria es nula.El signo negativo indica que la energía potencial es siempre negativa para cualquier distancia finita, lo que refleja que la gravedad es una fuerza atractiva: para separar las masas hasta el infinito es necesario aportar energía al sistema.

Relación entre ambas expresiones

La expresión Ep=mghE_p = mgh se puede obtener como caso límite de la expresión general cuando hRTh \ll R_T (siendo RTR_T el radio terrestre). En ese caso, desarrollando la diferencia de energía potencial entre dos puntos próximos a la superficie:

ΔEp=GMmRT+h(GMmRT)=GMm(1RT1RT+h)GMmRT2h=mgh\Delta E_p = -G\frac{Mm}{R_T + h} - \left(-G\frac{Mm}{R_T}\right) = GMm\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{R_T+h}\right) \approx \frac{GMm}{R_T^2}\,h = mgh

donde se ha usado que g=GMRT2g = \dfrac{GM}{R_T^2}, identificando así ambas expresiones en el límite de campo uniforme.

Resumen comparativo
Fórmula Ep=mghE_p = mgh: válida cerca de la superficie (campo uniforme). Referencia: nivel elegido arbitrariamente por el observador (h=0h = 0).Fórmula Ep=GMmrE_p = -G\dfrac{Mm}{r}: válida en cualquier punto del espacio (campo no uniforme). Referencia: el infinito (rr \to \infty, Ep=0E_p = 0).