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T6: Física nuclear
Reacciones nucleares
Problema
2018 · Extraordinaria · Suplente
4A-b
Examen

En algunas estrellas predominan las fusiones del denominado ciclo de carbono, cuyo último paso consiste en la fusión de un protón con nitrógeno X715X27215N\ce{^{15}_{7}N} para dar X612X26212C\ce{^{12}_{6}C} y un núcleo de helio.

4. b) Escriba la reacción nuclear y determine la energía necesaria para formar 1 kg1 \text{ kg} de X612X26212C\ce{^{12}_{6}C}.

Datos: c=3⋅108 m⋅s−1;u=1,67⋅10−27 kg;m(X11X2121H)=1,007825 u;m(X715X27215N)=15,000109 u;m(X612X26212C)=12,000000 u;m(X24X2224He)=4,002603 uc = 3 \cdot 10^{8} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}; u = 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; m(\ce{^{1}_{1}H}) = 1,007825 \text{ u}; m(\ce{^{15}_{7}N}) = 15,000109 \text{ u}; m(\ce{^{12}_{6}C}) = 12,000000 \text{ u}; m(\ce{^{4}_{2}He}) = 4,002603 \text{ u}

Fusión nuclearDefecto de masaBalance energético
b) Reacción nuclear y energía para formar 1 kg de X612X26212C\ce{^{12}_{6}C}
Reacción nuclear

La fusión de un protón (X11X2121H\ce{^{1}_{1}H}) con nitrógeno-15 (X715X27215N\ce{^{15}_{7}N}) da lugar a carbono-12 y un núcleo de helio-4 (partícula alfa). Verificando la conservación del número másico (1+15 = 12+4 = 16) y del número atómico (1+7 = 6+2 = 8):

X11X2121H+X715X27215N→X612X26212C+X24X2224He\ce{^{1}_{1}H + ^{15}_{7}N -> ^{12}_{6}C + ^{4}_{2}He}
Cálculo del defecto de masa

El defecto de masa Δm\Delta m se calcula como la diferencia entre la masa de los reactivos y la masa de los productos:

Δm=[m(X11X2121H)+m(X715X27215N)]−[m(X612X26212C)+m(X24X2224He)]\Delta m = \left[m(\ce{^{1}_{1}H}) + m(\ce{^{15}_{7}N})\right] - \left[m(\ce{^{12}_{6}C}) + m(\ce{^{4}_{2}He})\right]
Δm=(1,007825+15,000109)−(12,000000+4,002603) u\Delta m = (1{,}007825 + 15{,}000109) - (12{,}000000 + 4{,}002603) \text{ u}
Δm=16,007934−16,002603=0,005331 u\Delta m = 16{,}007934 - 16{,}002603 = 0{,}005331 \text{ u}
Energía liberada por reacción

Aplicando la equivalencia masa-energía de Einstein E=Δm⋅c2E = \Delta m \cdot c^2, convirtiendo el defecto de masa a kg usando 1 u=1,67×10−27 kg1\text{ u} = 1{,}67 \times 10^{-27}\text{ kg}:

Δm=0,005331×1,67×10−27 kg=8,903×10−30 kg\Delta m = 0{,}005331 \times 1{,}67 \times 10^{-27} \text{ kg} = 8{,}903 \times 10^{-30} \text{ kg}
Ereaccioˊn=Δm⋅c2=8,903×10−30×(3×108)2 JE_{\text{reacción}} = \Delta m \cdot c^2 = 8{,}903 \times 10^{-30} \times (3 \times 10^{8})^2 \text{ J}
Ereaccioˊn=8,903×10−30×9×1016=8,013×10−13 JE_{\text{reacción}} = 8{,}903 \times 10^{-30} \times 9 \times 10^{16} = 8{,}013 \times 10^{-13} \text{ J}
Energía para formar 1 kg de $\ce{^{12}_{6}C}$

La masa de un núcleo de X612X26212C\ce{^{12}_{6}C} es m(X612X26212C)=12,000000 u=12×1,67×10−27 kg=2,004×10−26 kgm(\ce{^{12}_{6}C}) = 12{,}000000 \text{ u} = 12 \times 1{,}67 \times 10^{-27} \text{ kg} = 2{,}004 \times 10^{-26} \text{ kg}.El número de núcleos de X612X26212C\ce{^{12}_{6}C} contenidos en 1 kg es:

N=1 kg2,004×10−26 kg=4,990×1025 nuˊcleosN = \frac{1 \text{ kg}}{2{,}004 \times 10^{-26} \text{ kg}} = 4{,}990 \times 10^{25} \text{ núcleos}

La energía total liberada en la formación de 1 kg de X612X26212C\ce{^{12}_{6}C} es:

Etotal=N×Ereaccioˊn=4,990×1025×8,013×10−13 JE_{\text{total}} = N \times E_{\text{reacción}} = 4{,}990 \times 10^{25} \times 8{,}013 \times 10^{-13} \text{ J}
Etotal≈3,998×1013 J≈4,0×1013 J\boxed{E_{\text{total}} \approx 3{,}998 \times 10^{13} \text{ J} \approx 4{,}0 \times 10^{13} \text{ J}}

La energía que se libera al producir 1 kg de X612X26212C\ce{^{12}_{6}C} mediante este proceso de fusión es aproximadamente 4,0×10134{,}0 \times 10^{13} J. Al ser Δm>0\Delta m > 0 (los reactivos son más masivos que los productos), la reacción es exotérmica y libera energía.