T5: Física moderna · Dualidad onda-corpúsculo — FISICA PEvAU Andaluc%2525C3%2525ADa 2022

Dualidad onda-corpúsculo

Teoría

2022 · Extraordinaria · Titular

D1-a

a) Dos partículas distintas

1

2

tienen la misma longitud de onda de De Broglie. Si

m_1 = 2 m_2

, calcule razonadamente: i) la relación entre sus velocidades y ii) la relación entre sus energías cinéticas.

hipótesis de De Broglielongitud de ondaenergía cinética

a) Las dos partículas tienen la misma longitud de onda de De Broglie, es decir,

\lambda_1 = \lambda_2

. También sabemos que

m_1 = 2m_2

La longitud de onda de De Broglie se define como:

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}

donde $h$ es la constante de Planck, $m$ es la masa de la partícula y $v$ es su velocidad.

i) Relación entre sus velocidades:

Aplicando la fórmula de De Broglie para cada partícula:

\lambda_1 = \frac{h}{m_1 v_1}

\lambda_2 = \frac{h}{m_2 v_2}

Como $\lambda_1 = \lambda_2$ , igualamos las expresiones:

\frac{h}{m_1 v_1} = \frac{h}{m_2 v_2}

Simplificando la constante de Planck $h$ :

m_1 v_1 = m_2 v_2

Sustituimos $m_1 = 2m_2$ :

(2m_2) v_1 = m_2 v_2

Dividimos ambos lados por $m_2$ (asumiendo $m_2 \ne 0$ ):

2 v_1 = v_2

Por lo tanto, la relación entre las velocidades es:

\frac{v_2}{v_1} = 2

ii) Relación entre sus energías cinéticas:

La energía cinética de una partícula se define como:

E_c = \frac{1}{2}mv^2

Aplicamos esta fórmula para cada partícula:

E_{c1} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2

E_{c2} = \frac{1}{2} m_2 v_2^2

Calculamos la relación entre las energías cinéticas $E_{c1}/E_{c2}$ :

\frac{E_{c1}}{E_{c2}} = \frac{\frac{1}{2} m_1 v_1^2}{\frac{1}{2} m_2 v_2^2} = \frac{m_1 v_1^2}{m_2 v_2^2}

Ahora sustituimos las relaciones que encontramos: $m_1 = 2m_2$ y $v_2 = 2v_1$ :

\frac{E_{c1}}{E_{c2}} = \frac{(2m_2) v_1^2}{m_2 (2v_1)^2}

Simplificamos la expresión:

\frac{E_{c1}}{E_{c2}} = \frac{2m_2 v_1^2}{m_2 (4v_1^2)} = \frac{2m_2 v_1^2}{4m_2 v_1^2}

Cancelamos $m_2 v_1^2$ :

\frac{E_{c1}}{E_{c2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Por lo tanto, la relación entre sus energías cinéticas es:

\frac{E_{c1}}{E_{c2}} = \frac{1}{2}

Esto significa que $E_{c2} = 2 E_{c1}$ .