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T1: Matrices y determinantes
Matrices con parámetros, potencias de matrices y ecuaciones matriciales
Problema
2022 · Extraordinaria · Reserva
1
Examen

Considere la matriz

A=(2−3−a−1−1aa+11−3−a)A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -a - 1 \\ -1 & a & a + 1 \\ 1 & -3 & -a \end{pmatrix}

donde aa es un número real. Determine de manera justificada:

a) Los valores de aa para los que la matriz AA tiene inversa.b) Las matrices A2A^2, A3A^3 y A2022A^{2022} para a=4a = 4.c) La matriz XX que verifica que X⋅A=I3X \cdot A = I_3 para a=3a = 3.
Inversa de una matrizPotencia de una matrizEcuación matricial
a) Los valores de aa para los que la matriz AA tiene inversa.

Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de AA.

det⁡(A)=∣2−3−a−1−1aa+11−3−a∣\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & -3 & -a - 1 \\ -1 & a & a + 1 \\ 1 & -3 & -a \end{vmatrix}
\\det(A) = 2(a(-a) - (a+1)(-3)) - (-3)((-1)(-a) - (a+1)(1)) + (-a-1)((-1)(-3) - a(1))
\\det(A) = 2(-a^2 + 3a + 3) + 3(a - a - 1) + (-a-1)(3-a)
\\det(A) = -2a^2 + 6a + 6 + 3(-1) + (-3a + a^2 - 3 + a)
det⁡(A)=−2a2+6a+6−3+a2−2a−3\det(A) = -2a^2 + 6a + 6 - 3 + a^2 - 2a - 3
det⁡(A)=−a2+4a\det(A) = -a^2 + 4a

Para que la matriz AA tenga inversa, el determinante debe ser no nulo:

−a2+4a≠0-a^2 + 4a \neq 0
−a(a−4)≠0-a(a - 4) \neq 0

Esto implica que a≠0a \neq 0 y a≠4a \neq 4.La matriz AA tiene inversa para todos los valores de a∈Ra \in \mathbb{R} excepto a=0a = 0 y a=4a = 4.

b) Las matrices A2A^2, A3A^3 y A2022A^{2022} para a=4a = 4.

Sustituimos a=4a = 4 en la matriz AA:

A=(2−3−4−1−144+11−3−4)=(2−3−5−1451−3−4)A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -4 - 1 \\ -1 & 4 & 4 + 1 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}

Calculamos A2=A⋅AA^2 = A \cdot A:

A2=(2−3−5−1451−3−4)(2−3−5−1451−3−4)A^2 = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}
A2=(2(2)−3(−1)−5(1)2(−3)−3(4)−5(−3)2(−5)−3(5)−5(−4)−1(2)+4(−1)+5(1)−1(−3)+4(4)+5(−3)−1(−5)+4(5)+5(−4)1(2)−3(−1)−4(1)1(−3)−3(4)−4(−3)1(−5)−3(5)−4(−4))A^2 = \begin{pmatrix} 2(2)-3(-1)-5(1) & 2(-3)-3(4)-5(-3) & 2(-5)-3(5)-5(-4) \\ -1(2)+4(-1)+5(1) & -1(-3)+4(4)+5(-3) & -1(-5)+4(5)+5(-4) \\ 1(2)-3(-1)-4(1) & 1(-3)-3(4)-4(-3) & 1(-5)-3(5)-4(-4) \end{pmatrix}
A2=(4+3−5−6−12+15−10−15+20−2−4+53+16−155+20−202+3−4−3−12+12−5−15+16)A^2 = \begin{pmatrix} 4+3-5 & -6-12+15 & -10-15+20 \\ -2-4+5 & 3+16-15 & 5+20-20 \\ 2+3-4 & -3-12+12 & -5-15+16 \end{pmatrix}
A2=(2−3−5−1451−3−4)A^2 = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}

Observamos que A2=AA^2 = A.Por lo tanto, A3=A⋅A2=A⋅A=A2=AA^3 = A \cdot A^2 = A \cdot A = A^2 = A.En general, para cualquier entero positivo nn, An=AA^n = A. Así, A2022=AA^{2022} = A.

A2=(2−3−5−1451−3−4)A^2 = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}
A3=(2−3−5−1451−3−4)A^3 = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}
A2022=(2−3−5−1451−3−4)A^{2022} = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}
c) La matriz XX que verifica que X⋅A=I3X \cdot A = I_3 para a=3a = 3.

La ecuación X⋅A=I3X \cdot A = I_3 implica que X=A−1X = A^{-1}. Debemos calcular la inversa de AA para a=3a = 3.Sustituimos a=3a = 3 en la matriz AA:

A=(2−3−3−1−133+11−3−3)=(2−3−4−1341−3−3)A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -3 - 1 \\ -1 & 3 & 3 + 1 \\ 1 & -3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -3 & -3 \end{pmatrix}

Calculamos el determinante de AA para a=3a=3 usando la expresión de la parte a):

det⁡(A)=−a2+4a=−(3)2+4(3)=−9+12=3\det(A) = -a^2 + 4a = -(3)^2 + 4(3) = -9 + 12 = 3

Como det⁡(A)=3≠0\det(A) = 3 \neq 0, la inversa existe. Calculamos la matriz de cofactores de AA:

C11=∣34−3−3∣=−9−(−12)=3C_{11} = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -3 & -3 \end{vmatrix} = -9 - (-12) = 3
C12=−∣−141−3∣=−(3−4)=1C_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = - (3 - 4) = 1
C13=∣−131−3∣=3−3=0C_{13} = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = 3 - 3 = 0
C21=−∣−3−4−3−3∣=−(9−12)=3C_{21} = -\begin{vmatrix} -3 & -4 \\ -3 & -3 \end{vmatrix} = - (9 - 12) = 3
C22=∣2−41−3∣=−6−(−4)=−2C_{22} = \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -6 - (-4) = -2
C23=−∣2−31−3∣=−(−6−(−3))=3C_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = - (-6 - (-3)) = 3
C31=∣−3−434∣=−12−(−12)=0C_{31} = \begin{vmatrix} -3 & -4 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -12 - (-12) = 0
C32=−∣2−4−14∣=−(8−4)=−4C_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = - (8 - 4) = -4
C33=∣2−3−13∣=6−3=3C_{33} = \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 3 = 3

La matriz de cofactores CC es:

C=(3103−230−43)C = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 3 \\ 0 & -4 & 3 \end{pmatrix}

La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores:

adj(A)=CT=(3301−2−4033)\text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & -4 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}

Finalmente, la inversa A−1A^{-1} es:

X=A−1=1det⁡(A)adj(A)=13(3301−2−4033)X = A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & -4 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}
X=(1101/3−2/3−4/3011)X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1/3 & -2/3 & -4/3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}