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T5: Física moderna
Energía y longitud de onda de De Broglie
Problema
2026 · Ordinaria · Titular
D-b2
Examen
b2) Un protón y un electrón son acelerados por una diferencia de potencial de \(0.075 \text{ V}\). i) Determine la energía cinética de ambas partículas. ii) Determine, razonadamente, las longitudes de onda de De Broglie asociadas a ambas partículas.\(h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}; e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}; m_p = 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}\)
Energía cinéticaDe BroglieProtón+2
i) Energía cinética de ambas partículas

Cuando una partícula cargada es acelerada por una diferencia de potencial ΔV\Delta V, el trabajo realizado por el campo eléctrico se convierte en energía cinética:

Ek=q⋅ΔVE_k = q \cdot \Delta V

Tanto el protón como el electrón tienen la misma carga en valor absoluto e=1,6⋅10−19e = 1{,}6 \cdot 10^{-19} C, por lo que ambos adquieren la misma energía cinética:

Ek=e⋅ΔV=1,6⋅10−19 C×0,075 V=1,2⋅10−20 JE_k = e \cdot \Delta V = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \times 0{,}075 \text{ V} = 1{,}2 \cdot 10^{-20} \text{ J}

La energía cinética de ambas partículas es Ek=1,2⋅10−20E_k = 1{,}2 \cdot 10^{-20} J.

ii) Longitudes de onda de De Broglie

La longitud de onda de De Broglie se define como:

λ=hp=hm⋅v\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m \cdot v}

Expresamos el momento lineal pp en función de la energía cinética. Como Ek=p22mE_k = \dfrac{p^2}{2m}, se tiene:

p=2⋅m⋅Ekp = \sqrt{2 \cdot m \cdot E_k}

Por tanto:

λ=h2⋅m⋅Ek\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 \cdot m \cdot E_k}}

Longitud de onda del electrón (me=9,1⋅10−31m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31} kg):

λe=6,63⋅10−342×9,1⋅10−31×1,2⋅10−20\lambda_e = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9{,}1 \cdot 10^{-31} \times 1{,}2 \cdot 10^{-20}}}
λe=6,63⋅10−342,184⋅10−50=6,63⋅10−341,478⋅10−25\lambda_e = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2{,}184 \cdot 10^{-50}}} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{1{,}478 \cdot 10^{-25}}
λe≈4,49⋅10−9 m=4,49 nm\lambda_e \approx 4{,}49 \cdot 10^{-9} \text{ m} = 4{,}49 \text{ nm}

Longitud de onda del protón (mp=1,67⋅10−27m_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27} kg):

λp=6,63⋅10−342×1,67⋅10−27×1,2⋅10−20\lambda_p = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1{,}67 \cdot 10^{-27} \times 1{,}2 \cdot 10^{-20}}}
λp=6,63⋅10−344,008⋅10−47=6,63⋅10−346,331⋅10−24\lambda_p = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{4{,}008 \cdot 10^{-47}}} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{6{,}331 \cdot 10^{-24}}
λp≈1,047⋅10−10 m≈0,105 nm\lambda_p \approx 1{,}047 \cdot 10^{-10} \text{ m} \approx 0{,}105 \text{ nm}

Razonamiento: dado que ambas partículas tienen la misma energía cinética, la longitud de onda de De Broglie es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa, λ∝1m\lambda \propto \dfrac{1}{\sqrt{m}}. Como el protón es mucho más masivo que el electrón (mp≈1836⋅mem_p \approx 1836 \cdot m_e), su longitud de onda es considerablemente menor. En efecto:

λeλp=mpme=1,67⋅10−279,1⋅10−31≈1835≈42,8\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}} = \sqrt{\frac{1{,}67 \cdot 10^{-27}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}} \approx \sqrt{1835} \approx 42{,}8

Efectivamente, λe≈4,49\lambda_e \approx 4{,}49 nm es aproximadamente 42,8 veces mayor que λp≈0,105\lambda_p \approx 0{,}105 nm, lo que confirma el resultado.