T6: Física nuclear · Radiactividad — FISICA PEvAU Andaluc%252525C3%252525ADa 2021

Radiactividad

Problema

2021 · Ordinaria · Suplente

D.2-b

b) En un yacimiento arqueológico se ha encontrado un cuerpo momificado con el

86\%

^{14}\ce{C}

del que presenta habitualmente un ser vivo. Sabiendo que el periodo de semidesintegración del

^{14}\ce{C}

es de

5730 \text{ años}

, determine razonadamente: i) El tiempo transcurrido desde su muerte. ii) El porcentaje del

^{14}\ce{C}

original que quedará en dichos restos cuando hayan transcurrido

500 \text{ años}

más.

DataciónCarbono-14Desintegración radiactiva

b) i) El tiempo transcurrido desde su muerte.

La ley de desintegración radiactiva viene dada por la expresión:

N(t) = N_0 e^{-\lambda t}

donde $N(t)$ es la cantidad de isótopo en el instante $t$ , $N_0$ es la cantidad inicial y $\lambda$ es la constante de desintegración. La constante de desintegración está relacionada con el periodo de semidesintegración ( $T_{1/2}$ ) por la siguiente expresión:

T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}

Primero calculamos la constante de desintegración $\lambda$ :

\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} = \frac{\ln(2)}{5730 \text{ años}} \approx \frac{0.6931}{5730 \text{ años}} \approx 1.2096 \times 10^{-4} \text{ años}^{-1}

Sabemos que el cuerpo momificado conserva el $86\%$ del $^{14}\ce{C}$ original, es decir, $N(t) = 0.86 N_0$ . Sustituyendo este valor en la ley de desintegración:

0.86 N_0 = N_0 e^{-\lambda t}

Dividimos por $N_0$ y aplicamos logaritmo natural a ambos lados:

0.86 = e^{-\lambda t}

\ln(0.86) = -\lambda t

Despejamos $t$ :

t = -\frac{\ln(0.86)}{\lambda} = -\frac{\ln(0.86)}{1.2096 \times 10^{-4} \text{ años}^{-1}}

t = -\frac{-0.1508}{1.2096 \times 10^{-4} \text{ años}^{-1}} \approx 1246.7 \text{ años}

El tiempo transcurrido desde la muerte es de aproximadamente $1246.7 \text{ años}$ .

b) ii) El porcentaje del

^{14}\ce{C}

original que quedará en dichos restos cuando hayan transcurrido

500 \text{ años}

más.

El tiempo total transcurrido será el tiempo calculado en el apartado anterior más $500 \text{ años}$ :

t_{\text{total}} = 1246.7 \text{ años} + 500 \text{ años} = 1746.7 \text{ años}

Ahora calculamos la fracción de $^{14}\ce{C}$ restante para este tiempo total:

\frac{N(t_{\text{total}})}{N_0} = e^{-\lambda t_{\text{total}}}

\frac{N(t_{\text{total}})}{N_0} = e^{-(1.2096 \times 10^{-4} \text{ años}^{-1}) \times (1746.7 \text{ años})}

\frac{N(t_{\text{total}})}{N_0} = e^{-0.21139} \approx 0.8093

Para expresarlo como porcentaje, multiplicamos por $100\%$ :

\text{Porcentaje} = 0.8093 \times 100\% = 80.93\%

Quedará aproximadamente el $80.93\%$ del $^{14}\ce{C}$ original.