T5: Integrales · Cálculo de primitivas — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%252525C3%252525ADa 2025

Cálculo de primitivas

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

EJERCICIO 2.

Considera la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x + 2}$ . Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0, \frac{\pi}{4})$ .

PrimitivasArco tangente

Para encontrar una primitiva de $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 2x + 2}$ , primero completamos el cuadrado en el denominador:

x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1

Por tanto, la función queda:

f(x) = \frac{1}{(x+1)^2 + 1}

Calculamos la integral indefinida usando la primitiva conocida $\displaystyle\int \frac{1}{u^2+1}\,du = \arctan(u) + C$ , con el cambio $u = x+1$ , $du = dx$ :

F(x) = \int \frac{1}{(x+1)^2 + 1}\,dx = \arctan(x+1) + C

Para determinar la constante $C$ , imponemos que la gráfica pase por el punto $\left(0,\, \dfrac{\pi}{4}\right)$ , es decir, $F(0) = \dfrac{\pi}{4}$ :

\arctan(0+1) + C = \frac{\pi}{4}

\arctan(1) + C = \frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{4} + C = \frac{\pi}{4} \implies C = 0

La primitiva buscada es:

F(x) = \arctan(x+1)