Se desea analizar la evolución de la población de una localidad. Se conoce que la función f aproxima el número de habitantes que tiene la población para cada tiempo t, medido en meses, con t∈[0,60]. El crecimiento de esta población viene dado por la siguiente expresión:
f′(t)=400+30t
También se sabe que la población en la actualidad, t=0, es de 90000 habitantes.
a) ¿Cuál será la población dentro de 9 meses?b) Calcule ∫916f′(t)dt e interprete el resultado.c) Si se entrega una ayuda de 150euros por cada nuevo habitante durante los tres primeros años, calcule la cuantía total aproximada de la ayuda que recibirá la localidad.
FuncionesDerivadaIntegral definida+1
La función que aproxima el número de habitantes, f(t), se obtiene integrando la expresión del crecimiento de la población f′(t). Primero, calculamos la función f(t):
f(t)=∫(400+30t)dt=∫(400+30t1/2)dt
f(t)=400t+303/2t3/2+C
f(t)=400t+20t3/2+C
Utilizamos la condición inicial de que la población en t=0 es 90000 habitantes para hallar la constante C:
f(0)=400(0)+20(0)3/2+C=90000⟹C=90000
Por lo tanto, la función que aproxima el número de habitantes es:
f(t)=400t+20t3/2+90000
a) Para calcular la población dentro de 9 meses, evaluamos f(9):
f(9)=400(9)+20(9)3/2+90000
f(9)=3600+20(9)3+90000
f(9)=3600+20(3)3+90000
f(9)=3600+20(27)+90000
f(9)=3600+540+90000
f(9)=94140
La población dentro de 9 meses será de 94140 habitantes.
b) Calculamos la integral ∫916f′(t)dt utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo, que establece que ∫abf′(t)dt=f(b)−f(a):
∫916f′(t)dt=f(16)−f(9)
Primero calculamos f(16):
f(16)=400(16)+20(16)3/2+90000
f(16)=6400+20(16)3+90000
f(16)=6400+20(4)3+90000
f(16)=6400+20(64)+90000
f(16)=6400+1280+90000
f(16)=97680
Ya habíamos calculado f(9)=94140. Ahora, calculamos la integral:
∫916f′(t)dt=97680−94140=3540
Interpretación del resultado: El valor de la integral, 3540, representa el aumento neto de la población entre los 9 y los 16 meses.
c) Para calcular la cuantía total aproximada de la ayuda, debemos determinar el número de nuevos habitantes durante los tres primeros años. Tres años equivalen a 3×12=36 meses.
El número de nuevos habitantes es la diferencia entre la población en t=36 y la población inicial en t=0, es decir, f(36)−f(0).Primero calculamos f(36):
f(36)=400(36)+20(36)3/2+90000
f(36)=14400+20(36)3+90000
f(36)=14400+20(6)3+90000
f(36)=14400+20(216)+90000
f(36)=14400+4320+90000
f(36)=108720
El número de nuevos habitantes es:
Nuevos habitantes=f(36)−f(0)=108720−90000=18720
Dado que se entrega una ayuda de 150euros por cada nuevo habitante, la cuantía total de la ayuda será:
