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Transformaciones geométricas
Problema
2025 · Ordinaria · Suplente
1
Examen
EJERCICIO 1: TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Dada la figura representada y la homología definida por el eje E y los pares de puntos homólogos A-A' y B-B', se pide:

1. Determinar el centro de homología.2. Representar la figura homóloga de la dada.
Imagen del ejercicio
HomologíaGeometría planaDibujo técnico+1
1. Determinar el centro de homología.

El centro de homología VV se determina trazando las rectas que unen los pares de puntos homólogos. Se traza la recta que une AA con AA' y la recta que une BB con BB'. La intersección de estas dos rectas es el centro de homología VV.

2. Representar la figura homóloga de la dada.

Para obtener la figura homóloga, se deben hallar los puntos homólogos de todos los vértices de la figura original. Se utilizan las propiedades fundamentales de la homología:• Un punto PP, su homólogo PP' y el centro de homología VV son siempre colineales.• Una recta rr, su homóloga rr' y su punto de intersección con el eje de homología EE son siempre concurrentes.Procedimiento para determinar el homólogo PiP_i' de cualquier vértice PiP_i de la figura (conocidos A,A,B,B,E,VA, A', B, B', E, V):1. Se traza la recta que une el vértice PiP_i con el centro de homología VV. El punto homólogo PiP_i' se encontrará sobre esta recta VPiVP_i.2. Se selecciona un segmento de la figura original que tenga a PiP_i como uno de sus extremos (por ejemplo, el segmento PiPjP_iP_j). Se prolonga la recta que contiene a este segmento hasta que corte al eje de homología EE. Este punto de corte es el punto de intersección IPi,PjI_{P_i,P_j}.3. Se traza la recta que une el punto IPi,PjI_{P_i,P_j} con el punto homólogo del otro extremo del segmento, PjP_j'. Esta recta IPi,PjPjI_{P_i,P_j}P_j' es la homóloga del segmento PiPjP_iP_j.4. El punto PiP_i' es la intersección de la recta VPiVP_i (trazada en el paso 1) y la recta IPi,PjPjI_{P_i,P_j}P_j' (trazada en el paso 3).Aplicando este procedimiento a todos los vértices de la figura original (identificados en orden, por ejemplo, P1=AP_1=A, P2P_2, ..., P11P_{11}):• Para el punto AA, su homólogo es AA'. Para el punto BB, su homólogo es BB'.• Para cada uno de los demás vértices de la figura, se aplica el procedimiento descrito. Por ejemplo, para un vértice PkP_k: 1. Se une PkP_k con VV. Se obtiene la recta VPkVP_k. 2. Se elige un segmento que parta de PkP_k, por ejemplo, PkPmP_kP_m. Se prolonga la recta PkPmP_kP_m hasta cortar al eje EE en IPk,PmI_{P_k,P_m}. 3. Si PmP_m' ya es conocido (o ya ha sido hallado), se une IPk,PmI_{P_k,P_m} con PmP_m'. Se obtiene la recta IPk,PmPmI_{P_k,P_m}P_m'. 4. PkP_k' será la intersección de VPkVP_k y IPk,PmPmI_{P_k,P_m}P_m'.Una vez hallados todos los vértices homólogos, se unen en el mismo orden en que estaban unidos en la figura original para obtener la figura homóloga final.