Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ b & -1 & 1 \\ c & 1 & 1 \end{pmatrix}$$, se sabe que su determinante es $\det(A) = 5$.

Para calcular $\det(2A^3)$, utilizaremos las siguientes propiedades de los determinantes para matrices de dimensión $n \times n$: 1. $\det(kA) = k^n \det(A)$ 2. $\det(A^m) = (\det(A))^m$ En este caso, la matriz $A$ es de dimensión $3 \times 3$, por lo que $n=3$.

Sustituyendo el valor dado de $\det(A)=5$:

Primer determinante: $$\begin{vmatrix} 2a & -1 & 3 \\ 2b & 1/2 & 3 \\ 2c & -1/2 & 3 \end{vmatrix}$$ Aplicaremos las propiedades de los determinantes que indican que si una columna (o fila) se multiplica por un escalar $k$, el determinante se multiplica por $k$, y que se puede extraer un factor común de una columna (o fila).

Ahora, extraemos el factor $3$ de la tercera columna:

Comparamos este determinante con el original de $A$. La segunda columna del determinante actual es $$\begin{pmatrix} -1 \\ 1/2 \\ -1/2 \end{pmatrix}$$. Esta columna es $-\frac{1}{2}$ veces la segunda columna de $A$, que es $$\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$. Por lo tanto, podemos extraer el factor $-\frac{1}{2}$ de la segunda columna.

Sustituyendo $\det(A)=5$:

Segundo determinante: $$\begin{vmatrix} a & b & c \\ a+4 & b-2 & c+2 \\ a+1 & b+1 & c+1 \end{vmatrix}$$ En este caso, usaremos la propiedad de los determinantes que establece que si a una fila se le suma una combinación lineal de otras filas, el valor del determinante no cambia. También recordamos que $\det(A^T) = \det(A)$.Primero, restamos la primera fila ($R_1$) a la segunda fila ($R_2$) y a la tercera fila ($R_3$). Es decir, realizamos las operaciones $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ y $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$.

Ahora, observemos que la segunda fila $(4, -2, 2)$ es $2$ veces la segunda fila de $A^T$, que es $(2, -1, 1)$. La primera y tercera filas coinciden con las de $A^T$. Podemos extraer el factor $2$ de la segunda fila.

El determinante restante es $\det(A^T)$. Como $\det(A^T) = \det(A) = 5$, sustituimos este valor.