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T1: Matrices y determinantes
Matrices
Problema
2025 · Ordinaria · Suplente
4
Examen

Considera la matriz

A=(0341−4−5−134)A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}
a) Comprueba que A3+I=OA^3 + I = O, siendo II la matriz identidad y OO la matriz nula. Calcula A−1A^{-1}.b) Calcula A2025A^{2025}.
Matriz inversaPotencia de una matrizIdentidad
Matrices y potencias
a) Comprueba que A3+I=OA^3 + I = O, siendo II la matriz identidad y OO la matriz nula. Calcula A−1A^{-1}.

En primer lugar, calculamos A2A^2 multiplicando la matriz AA por sí misma:

A2=A⋅A=(0341−4−5−134)(0341−4−5−134)=(−101144−1−3−3)A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}

A continuación, calculamos A3A^3 multiplicando A2A^2 por AA:

A3=A2⋅A=(−101144−1−3−3)(0341−4−5−134)=(−1000−1000−1)=−IA^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = -I

Una vez obtenido que A3=−IA^3 = -I, comprobamos la igualdad solicitada:

A3+I=−I+I=OA^3 + I = -I + I = O

Para hallar la matriz inversa A−1A^{-1}, partimos de la relación A3=−IA^3 = -I y despejamos la identidad:

A⋅A2=−I  ⟹  A⋅(−A2)=IA \cdot A^2 = -I \implies A \cdot (-A^2) = I

Por la definición de matriz inversa (A⋅A−1=IA \cdot A^{-1} = I), se concluye que A−1=−A2A^{-1} = -A^2:

A−1=−(−101144−1−3−3)=(10−1−1−4−4133)A^{-1} = - \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}
b) Calcula A2025A^{2025}.

Utilizamos la propiedad A3=−IA^3 = -I demostrada en el apartado anterior. Expresamos la potencia 2025 en función de la potencia tercera:

A2025=(A3)675A^{2025} = (A^3)^{675}

Sustituyendo A3A^3 por −I-I:

A2025=(−I)675A^{2025} = (-I)^{675}

Como el exponente 675 es un número impar, la potencia de la matriz −I-I resulta en la propia matriz −I-I:

A2025=−I=(−1000−1000−1)A^{2025} = -I = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}