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T4: Funciones
Derivabilidad y rectas tangente/normal
Problema
2021 · Ordinaria · Reserva
1
Examen

Sea la función derivable f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por

f(x)={ax+bx−1si x≤0ln⁡(1+x)si x>0f(x) = \begin{cases} \frac{ax + b}{x - 1} & \text{si } x \le 0 \\ \ln(1 + x) & \text{si } x > 0 \end{cases}

(ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano).

a) Determina aa y bb.b) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=2x = 2.
Función a trozosDerivabilidadRecta tangente+1
a) Determina aa y bb.

Para que la función f(x)f(x) sea derivable en todo R\mathbb{R}, debe ser continua y derivable en el punto de cambio de definición, que es x=0x = 0.

1. Continuidad en $x = 0$

Para que la función sea continua en x=0x = 0, los límites laterales y el valor de la función en el punto deben ser iguales:

lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0−ax+bx−1=a(0)+b0−1=−b\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{ax + b}{x - 1} = \frac{a(0) + b}{0 - 1} = -b
lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+ln⁡(1+x)=ln⁡(1+0)=ln⁡(1)=0\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \ln(1 + x) = \ln(1 + 0) = \ln(1) = 0
f(0)=a(0)+b0−1=−bf(0) = \frac{a(0) + b}{0 - 1} = -b

Igualando los límites:

−b=0  ⟹  b=0-b = 0 \implies b = 0
2. Derivabilidad en $x = 0$

Primero, calculamos las derivadas de cada trozo de la función:

f′(x)={a(x−1)−(ax+b)(1)(x−1)2=ax−a−ax−b(x−1)2=−a−b(x−1)2si x<011+xsi x>0f'(x) = \begin{cases} \frac{a(x - 1) - (ax + b)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{ax - a - ax - b}{(x - 1)^2} = \frac{-a - b}{(x - 1)^2} & \text{si } x < 0 \\ \frac{1}{1 + x} & \text{si } x > 0 \end{cases}

Para que sea derivable en x=0x = 0, las derivadas laterales deben ser iguales:

lim⁡x→0−f′(x)=−a−b(0−1)2=−a−b\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \frac{-a - b}{(0 - 1)^2} = -a - b
lim⁡x→0+f′(x)=11+0=1\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \frac{1}{1 + 0} = 1

Igualando las derivadas laterales:

−a−b=1-a - b = 1

Sustituimos el valor de b=0b = 0 encontrado en el paso anterior:

−a−0=1  ⟹  −a=1  ⟹  a=−1-a - 0 = 1 \implies -a = 1 \implies a = -1

Por lo tanto, los valores son a=−1a = -1 y b=0b = 0.

b) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=2x = 2.

El punto de abscisa es x=2x = 2. Dado que x=2>0x = 2 > 0, utilizamos la segunda parte de la función: f(x)=ln⁡(1+x)f(x) = \ln(1 + x).

1. Punto de tangencia

El valor de la función en x=2x = 2 es:

f(2)=ln⁡(1+2)=ln⁡(3)f(2) = \ln(1 + 2) = \ln(3)

El punto de tangencia es (2,ln⁡(3))(2, \ln(3)).

2. Pendiente de la recta tangente

La derivada de la función para x>0x > 0 es f′(x)=11+xf'(x) = \frac{1}{1 + x}. Evaluamos en x=2x = 2:

mt=f′(2)=11+2=13m_t = f'(2) = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}
3. Ecuación de la recta tangente

Usamos la fórmula y−y0=mt(x−x0)y - y_0 = m_t(x - x_0):

y−ln⁡(3)=13(x−2)y - \ln(3) = \frac{1}{3}(x - 2)
y=13x−23+ln⁡(3)y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} + \ln(3)
4. Pendiente de la recta normal

La pendiente de la recta normal es la negativa de la inversa de la pendiente de la recta tangente:

mn=−1mt=−11/3=−3m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1/3} = -3
5. Ecuación de la recta normal

Usamos la fórmula y−y0=mn(x−x0)y - y_0 = m_n(x - x_0):

y−ln⁡(3)=−3(x−2)y - \ln(3) = -3(x - 2)
y−ln⁡(3)=−3x+6y - \ln(3) = -3x + 6
y=−3x+6+ln⁡(3)y = -3x + 6 + \ln(3)