AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T3: Geometría
Geometría métrica en el espacio
Problema
2022 · Extraordinaria · Titular
8B
Examen

Sean el plano π≡x+y−z=2\pi \equiv x + y - z = 2 y la recta r≡x=y3=z−1r \equiv x = \frac{y}{3} = z - 1.

a) Calcula, si existe, el punto de intersección de π\pi y rr.b) Dado el punto Q(2,6,3)Q(2, 6, 3), halla su simétrico respecto del plano π\pi.
SimetríaPlanosIntersección
a) Calcula, si existe, el punto de intersección de π\pi y rr.

Primero, expresamos la recta rr en sus ecuaciones paramétricas. Dada la expresión x=y3=z−1x = \frac{y}{3} = z - 1, podemos igualar cada parte a un parámetro λ\lambda:

x=λ⇒x=λx = \lambda \Rightarrow x = \lambda
y3=λ⇒y=3λ\frac{y}{3} = \lambda \Rightarrow y = 3\lambda
z−1=λ⇒z=1+λz - 1 = \lambda \Rightarrow z = 1 + \lambda

Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano π≡x+y−z=2\pi \equiv x + y - z = 2 para encontrar el valor de λ\lambda en el punto de intersección:

\lambda + (3\lambda) - (1 + \lambda) = 2
λ+3λ−1−λ=2\lambda + 3\lambda - 1 - \lambda = 2
3λ−1=23\lambda - 1 = 2
3λ=33\lambda = 3
λ=1\lambda = 1

Ahora, sustituimos el valor de λ=1\lambda = 1 en las ecuaciones paramétricas de la recta para obtener las coordenadas del punto de intersección PP:

x=1x = 1
y=3(1)=3y = 3(1) = 3
z=1+1=2z = 1 + 1 = 2

El punto de intersección es P(1,3,2)P(1, 3, 2).

b) Dado el punto Q(2,6,3)Q(2, 6, 3), halla su simétrico respecto del plano π\pi.

Para hallar el punto simétrico Q′(x′,y′,z′)Q'(x', y', z') de QQ respecto del plano π\pi, seguimos estos pasos:1. Hallamos la recta ss que pasa por QQ y es perpendicular al plano π\pi. El vector normal del plano n⃗π=(1,1,−1)\vec{n}_{\pi} = (1, 1, -1) es el vector director de esta recta.

s≡{x=2+μy=6+μz=3−μs \equiv \begin{cases} x = 2 + \mu \\ y = 6 + \mu \\ z = 3 - \mu \end{cases}

2. Calculamos el punto de intersección MM de la recta ss con el plano π\pi. Este punto es la proyección de QQ sobre el plano.Sustituimos las ecuaciones de la recta ss en la ecuación del plano π≡x+y−z=2\pi \equiv x + y - z = 2:

(2+μ)+(6+μ)−(3−μ)=2(2 + \mu) + (6 + \mu) - (3 - \mu) = 2
2+μ+6+μ−3+μ=22 + \mu + 6 + \mu - 3 + \mu = 2
3μ+5=23\mu + 5 = 2
3μ=−33\mu = -3
μ=−1\mu = -1

Sustituimos μ=−1\mu = -1 en las ecuaciones paramétricas de la recta ss para encontrar el punto MM:

xM=2+(−1)=1x_M = 2 + (-1) = 1
yM=6+(−1)=5y_M = 6 + (-1) = 5
zM=3−(−1)=4z_M = 3 - (-1) = 4

El punto de proyección es M(1,5,4)M(1, 5, 4).3. El punto MM es el punto medio del segmento QQ′QQ', donde Q′(x′,y′,z′)Q'(x', y', z') es el punto simétrico.

M=(xQ+x′2,yQ+y′2,zQ+z′2)M = \left(\frac{x_Q + x'}{2}, \frac{y_Q + y'}{2}, \frac{z_Q + z'}{2}\right)
(1,5,4)=(2+x′2,6+y′2,3+z′2)(1, 5, 4) = \left(\frac{2 + x'}{2}, \frac{6 + y'}{2}, \frac{3 + z'}{2}\right)

Igualamos las coordenadas:

1=2+x′2⇒2=2+x′⇒x′=01 = \frac{2 + x'}{2} \Rightarrow 2 = 2 + x' \Rightarrow x' = 0
5=6+y′2⇒10=6+y′⇒y′=45 = \frac{6 + y'}{2} \Rightarrow 10 = 6 + y' \Rightarrow y' = 4
4=3+z′2⇒8=3+z′⇒z′=54 = \frac{3 + z'}{2} \Rightarrow 8 = 3 + z' \Rightarrow z' = 5

El punto simétrico de QQ respecto del plano π\pi es Q′(0,4,5)Q'(0, 4, 5).