AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T1: Interacción gravitatoria
Energía y trabajo en campos gravitatorios
Problema
2017 · Ordinaria · Reserva
1A-b
Examen
b) Una masa m1m_1, de 500 kg500 \text{ kg}, se encuentra en el punto (0,4) m(0,4) \text{ m} y otra masa m2m_2, de 500 kg500 \text{ kg}, en el punto (−3,0) m(-3,0) \text{ m}. Determine el trabajo de la fuerza gravitatoria para desplazar una partícula m3m_3, de 250 kg250 \text{ kg}, desde el punto (3,0) m(3,0) \text{ m} hasta el punto (0,−4) m(0,-4) \text{ m}.

Dato: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}

Trabajo gravitatorioPotencialDistribución de masas

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al desplazar m3m_3 desde el punto A hasta el punto B es igual a la variación de energía potencial gravitatoria cambiada de signo:

W=−ΔEp=−(Ep,B−Ep,A)=Ep,A−Ep,BW = -\Delta E_p = -(E_{p,B} - E_{p,A}) = E_{p,A} - E_{p,B}

La energía potencial gravitatoria de m3m_3 debida a las masas m1m_1 y m2m_2 es:

Ep=−Gm1m3r13−Gm2m3r23E_p = -G \frac{m_1 m_3}{r_{13}} - G \frac{m_2 m_3}{r_{23}}
Cálculo de distancias en el punto inicial A = (3, 0) m

Distancia de m3m_3 en A a m1m_1 situada en (0,4)(0, 4) m:

r13A=(3−0)2+(0−4)2=9+16=25=5 mr_{13}^A = \sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}

Distancia de m3m_3 en A a m2m_2 situada en (−3,0)(-3, 0) m:

r23A=(3−(−3))2+(0−0)2=36=6 mr_{23}^A = \sqrt{(3-(-3))^2 + (0-0)^2} = \sqrt{36} = 6 \text{ m}
Cálculo de distancias en el punto final B = (0, -4) m

Distancia de m3m_3 en B a m1m_1 situada en (0,4)(0, 4) m:

r13B=(0−0)2+(−4−4)2=0+64=8 mr_{13}^B = \sqrt{(0-0)^2 + (-4-4)^2} = \sqrt{0 + 64} = 8 \text{ m}

Distancia de m3m_3 en B a m2m_2 situada en (−3,0)(-3, 0) m:

r23B=(0−(−3))2+(−4−0)2=9+16=25=5 mr_{23}^B = \sqrt{(0-(-3))^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}
Energía potencial en el punto inicial A
Ep,A=−Gm3(m1r13A+m2r23A)E_{p,A} = -G m_3 \left(\frac{m_1}{r_{13}^A} + \frac{m_2}{r_{23}^A}\right)
Ep,A=−6,67×10−11×250(5005+5006)E_{p,A} = -6{,}67 \times 10^{-11} \times 250 \left(\frac{500}{5} + \frac{500}{6}\right)
Ep,A=−6,67×10−11×250×(100+83,33)E_{p,A} = -6{,}67 \times 10^{-11} \times 250 \times (100 + 83{,}33)
Ep,A=−6,67×10−11×250×183,33=−3,056×10−6 JE_{p,A} = -6{,}67 \times 10^{-11} \times 250 \times 183{,}33 = -3{,}056 \times 10^{-6} \text{ J}
Energía potencial en el punto final B
Ep,B=−Gm3(m1r13B+m2r23B)E_{p,B} = -G m_3 \left(\frac{m_1}{r_{13}^B} + \frac{m_2}{r_{23}^B}\right)
Ep,B=−6,67×10−11×250(5008+5005)E_{p,B} = -6{,}67 \times 10^{-11} \times 250 \left(\frac{500}{8} + \frac{500}{5}\right)
Ep,B=−6,67×10−11×250×(62,5+100)E_{p,B} = -6{,}67 \times 10^{-11} \times 250 \times (62{,}5 + 100)
Ep,B=−6,67×10−11×250×162,5=−2,710×10−6 JE_{p,B} = -6{,}67 \times 10^{-11} \times 250 \times 162{,}5 = -2{,}710 \times 10^{-6} \text{ J}
Trabajo de la fuerza gravitatoria
W=Ep,A−Ep,B=−3,056×10−6−(−2,710×10−6)W = E_{p,A} - E_{p,B} = -3{,}056 \times 10^{-6} - (-2{,}710 \times 10^{-6})
W=(−3,056+2,710)×10−6=−0,346×10−6 JW = (-3{,}056 + 2{,}710) \times 10^{-6} = -0{,}346 \times 10^{-6} \text{ J}
W≈−3,46×10−7 J\boxed{W \approx -3{,}46 \times 10^{-7} \text{ J}}

El trabajo es negativo, lo que indica que la fuerza gravitatoria se opone al desplazamiento de m3m_3 desde A hasta B, es decir, m3m_3 se aleja del sistema m1m_1-m2m_2 en términos de potencial gravitatorio.