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T1: Interacción gravitatoria
Potencial gravitatorio
Teoría
2026 · Ordinaria · Suplente
A-a1
Examen
a1) Dos masas puntuales, m1=mm_1 = m y m2=4mm_2 = 4m, crean potenciales gravitatorios V1V_1 y V2V_2 respectivamente en un punto P. Considerando en ambos casos que el potencial en el infinito es nulo y sabiendo que V2=2V1V_2 = 2V_1: i) determine razonadamente la relación entre las distancias, r1r_1 y r2r_2, de las masas al punto P; ii) indique razonadamente qué masa se encuentra más alejada de P.
Potencial gravitatorioMasaDistancia
a1) i) Determinación de la relación entre las distancias, r1r_1 y r2r_2.

El potencial gravitatorio creado por una masa puntual MM a una distancia rr se define como:

V=−GMrV = -\frac{GM}{r}

Aplicando esta definición para las masas m1m_1 y m2m_2 en el punto P, tenemos:

V1=−Gm1r1=−Gmr1V_1 = -\frac{G m_1}{r_1} = -\frac{G m}{r_1}
V2=−Gm2r2=−G(4m)r2V_2 = -\frac{G m_2}{r_2} = -\frac{G (4m)}{r_2}

Se nos da la relación V2=2V1V_2 = 2V_1. Sustituyendo las expresiones de los potenciales:

−G(4m)r2=2(−Gmr1)-\frac{G (4m)}{r_2} = 2 \left(-\frac{G m}{r_1}\right)

Simplificando la ecuación, podemos cancelar GG, mm y el signo negativo en ambos lados:

4r2=2r1\frac{4}{r_2} = \frac{2}{r_1}

Ahora, despejamos la relación entre r1r_1 y r2r_2:

4r1=2r24r_1 = 2r_2
r2=2r1r_2 = 2r_1

La relación entre las distancias es que r2r_2 es el doble de r1r_1.

ii) Indicación razonada de qué masa se encuentra más alejada de P.

Dado que la relación entre las distancias es r2=2r1r_2 = 2r_1, esto significa que la distancia de la masa m2m_2 al punto P (r2r_2) es el doble de la distancia de la masa m1m_1 al punto P (r1r_1). Por lo tanto, la masa m2m_2 se encuentra más alejada del punto P que la masa m1m_1.