AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T1: Interacción gravitatoria
Potencial y Trabajo
Problema
2025 · Ordinaria · Reserva
A-b1
Examen
b1) Dos masas puntuales de 400 kg400 \text{ kg} están situadas en los puntos A(2,2) mA(2, 2) \text{ m} y B(2,−2) mB(2, -2) \text{ m}. Calcule razonadamente: i) el potencial gravitatorio en el punto C(2,0) mC(2, 0) \text{ m}; ii) el trabajo que hay que realizar para desplazar una masa de 3 kg3 \text{ kg}, inicialmente en reposo en CC, hasta dejarla en reposo en el origen de coordenadas.

Dato: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}

Potencial gravitatorioTrabajoMasas puntuales
XYmA(2,2)mB(2,-2)C(2,0)g1g2
i) El potencial gravitatorio en un punto debido a una distribución de masas puntuales se calcula como la suma escalar de los potenciales individuales: V=∑Vi=−G∑MiriV = \sum V_i = -G \sum \frac{M_i}{r_i}. Primero, calculamos las distancias desde las masas situadas en A(2,2)A(2, 2) y B(2,−2)B(2, -2) hasta el punto C(2,0)C(2, 0):
rAC=(2−2)2+(0−2)2=2 m;rBC=(2−2)2+(0−(−2))2=2 mr_{AC} = \sqrt{(2-2)^2 + (0-2)^2} = 2 \text{ m}; \quad r_{BC} = \sqrt{(2-2)^2 + (0-(-2))^2} = 2 \text{ m}
VC=−G(MArAC+MBrBC)=−6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2(400 kg2 m+400 kg2 m)V_C = -G \left( \frac{M_A}{r_{AC}} + \frac{M_B}{r_{BC}} \right) = -6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \left( \frac{400 \text{ kg}}{2 \text{ m}} + \frac{400 \text{ kg}}{2 \text{ m}} \right)
VC=−6,67⋅10−11⋅400=−2,668⋅10−8 J⋅kg−1V_C = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 400 = -2,668 \cdot 10^{-8} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}
ii) El trabajo realizado por una fuerza externa para desplazar la masa m=3 kgm = 3 \text{ kg} desde el punto CC hasta el origen O(0,0)O(0, 0), manteniendo la masa en reposo en ambos puntos (es decir, ΔEk=0\Delta E_k = 0), es igual a la variación de su energía potencial: W=ΔEp=m(VO−VC)W = \Delta E_p = m(V_O - V_C). Calculamos primero el potencial en el origen O(0,0)O(0, 0) determinando las nuevas distancias:
rAO=(2−0)2+(2−0)2=8 m;rBO=(2−0)2+(−2−0)2=8 mr_{AO} = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{8} \text{ m}; \quad r_{BO} = \sqrt{(2-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{8} \text{ m}
VO=−G(4008+4008)=−G8008=−6,67⋅10−11⋅282,84≈−1,887⋅10−8 J⋅kg−1V_O = -G \left( \frac{400}{\sqrt{8}} + \frac{400}{\sqrt{8}} \right) = -G \frac{800}{\sqrt{8}} = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 282,84 \approx -1,887 \cdot 10^{-8} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

Finalmente, sustituimos los valores de los potenciales para hallar el trabajo realizado por la fuerza externa:

W=m(VO−VC)=3 kg⋅(−1,887⋅10−8−(−2,668⋅10−8)) J⋅kg−1W = m(V_O - V_C) = 3 \text{ kg} \cdot (-1,887 \cdot 10^{-8} - (-2,668 \cdot 10^{-8})) \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}
W=3⋅0,781⋅10−8=2,343⋅10−8 JW = 3 \cdot 0,781 \cdot 10^{-8} = 2,343 \cdot 10^{-8} \text{ J}