T6: Teoría de muestras · Inferencia estadística para la proporción — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andaluc%2525252525C3%2525252525ADa 2024

Inferencia estadística para la proporción

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

BLOQUE D

Una tienda decide evaluar a su empresa de transporte para determinar si está cumpliendo con sus estándares de calidad. Para ello, se analizan 400 de sus envíos y se comprueba que 370 han sido entregados a tiempo.

a) Si los estándares de calidad de dicha empresa requieren que al menos el 88% de los envíos sean entregados a tiempo, estime, mediante un intervalo de confianza al 93%, si la empresa de transporte cumple con los estándares de calidad.b) Si se mantiene la misma proporción muestral y se aumenta el nivel de confianza al 95%, ¿cuántos envíos, como mínimo, habrá que analizar para que la amplitud del intervalo de confianza sea inferior a 0.03?

EstadísticaIntervalo de confianzaProporción+1

Resolución del ejercicio de probabilidad

Datos proporcionados:Número total de envíos analizados, $n = 400$ .Número de envíos entregados a tiempo, $X = 370$ .La proporción muestral de envíos entregados a tiempo es:

\hat{p} = \frac{X}{n} = \frac{370}{400} = 0.925

La proporción muestral de envíos no entregados a tiempo es:

\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.925 = 0.075

El nivel de confianza es del 93%, lo que implica que $\alpha = 1 - 0.93 = 0.07$ . Por lo tanto, $\alpha/2 = 0.035$ .Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.035 = 0.965$ .Consultando las tablas de la distribución normal estándar o usando una calculadora, obtenemos $z_{0.035} \approx 1.81$ .El intervalo de confianza para la proporción se calcula mediante la fórmula:

IC = \left[\hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}\right]

Calculamos el error máximo de la estimación ( $E$ ):

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 1.81 \sqrt{\frac{0.925 \cdot 0.075}{400}}

E = 1.81 \sqrt{\frac{0.069375}{400}} = 1.81 \sqrt{0.0001734375} \approx 1.81 \cdot 0.013169 \approx 0.0238

Ahora construimos el intervalo de confianza:

IC = [0.925 - 0.0238, 0.925 + 0.0238]

IC = [0.9012, 0.9488]

Los estándares de calidad requieren que al menos el 88% ( $0.88$ ) de los envíos sean entregados a tiempo. Dado que el intervalo de confianza para la proporción poblacional de envíos a tiempo es $[0.9012, 0.9488]$ , y todo el intervalo está por encima de $0.88$ , podemos concluir, con un 93% de confianza, que la empresa de transporte cumple con los estándares de calidad.

b) Si se mantiene la misma proporción muestral y se aumenta el nivel de confianza al 95%, ¿cuántos envíos, como mínimo, habrá que analizar para que la amplitud del intervalo de confianza sea inferior a 0.03?

La proporción muestral $\hat{p} = 0.925$ y $\hat{q} = 0.075$ se mantienen.El nuevo nivel de confianza es del 95%, lo que implica que $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ . Por lo tanto, $\alpha/2 = 0.025$ .Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.025 = 0.975$ .Consultando las tablas de la distribución normal estándar o usando una calculadora, obtenemos $z_{0.025} \approx 1.96$ .La amplitud del intervalo de confianza ( $A$ ) es el doble del error máximo de la estimación ( $E$ ). Queremos que la amplitud sea inferior a $0.03$ , es decir, $A < 0.03$ .

A = 2E < 0.03 \implies E < 0.015

Usamos la fórmula del error máximo de la estimación y despejamos $n$ :

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}

0.015 > 1.96 \sqrt{\frac{0.925 \cdot 0.075}{n}}

0.015 > 1.96 \sqrt{\frac{0.069375}{n}}

\frac{0.015}{1.96} > \sqrt{\frac{0.069375}{n}}

0.00765306 > \sqrt{\frac{0.069375}{n}}

Elevamos al cuadrado ambos lados de la inecuación:

(0.00765306)^2 > \frac{0.069375}{n}

0.0000585695 > \frac{0.069375}{n}

n > \frac{0.069375}{0.0000585695}

n > 1184.67

Dado que $n$ debe ser un número entero de envíos, el número mínimo de envíos que habrá que analizar es $1185$ .