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T2: Interacción electromagnética
Energía y fuerza electrostática
Problema
2026 · Ordinaria · Titular
B-b2
Examen
b2) Un electrón se lanza desde el infinito con una velocidad inicial de \(1 \cdot 10^7 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}\) hacia una carga puntual de \(-5 \ \mu \text{C}\) que permanece fija. i) Determine la distancia a la carga puntual en la que se anula la velocidad del electrón. ii) Calcule el módulo y carácter (atractiva o repulsiva) de la fuerza a esa distancia.\(k = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}; e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}\)
Conservación de la energíaPotencial eléctricoFuerza electrostática
Electrón lanzado hacia una carga puntual negativa

Un electrón (carga −e-e) se lanza desde el infinito hacia una carga Q=−5 μCQ = -5\ \mu\text{C}. Como ambas cargas son negativas, la fuerza entre ellas es repulsiva. El electrón irá frenándose hasta que su velocidad sea nula.

i) Distancia a la que se anula la velocidad del electrón

Aplicamos conservación de la energía mecánica entre el punto inicial (infinito) y el punto final (donde v=0v = 0):

Ecineˊtica, inicial+Epotencial, inicial=Ecineˊtica, final+Epotencial, finalE_{\text{cinética, inicial}} + E_{\text{potencial, inicial}} = E_{\text{cinética, final}} + E_{\text{potencial, final}}

En el infinito, la energía potencial es cero. En el punto final, la velocidad es cero, por lo que la energía cinética es cero:

12mev02+0=0+Ep,f\frac{1}{2}m_e v_0^2 + 0 = 0 + E_{p,f}

La energía potencial eléctrica del electrón (carga q=−eq = -e) a distancia rr de la carga QQ es:

Ep=kQ⋅qr=k(−5×10−6)⋅(−1,6×10−19)rE_p = k\frac{Q \cdot q}{r} = k\frac{(-5\times10^{-6})\cdot(-1{,}6\times10^{-19})}{r}

Igualando las energías:

12mev02=kQ⋅qr\frac{1}{2}m_e v_0^2 = k\frac{Q \cdot q}{r}

Despejando rr:

r=k⋅Q⋅q12mev02=2k⋅∣Q∣⋅emev02r = \frac{k\cdot Q \cdot q}{\frac{1}{2}m_e v_0^2} = \frac{2k\cdot |Q|\cdot e}{m_e v_0^2}

Sustituyendo valores:

r=2×9×109×5×10−6×1,6×10−199,1×10−31×(1×107)2r = \frac{2 \times 9\times10^9 \times 5\times10^{-6} \times 1{,}6\times10^{-19}}{9{,}1\times10^{-31} \times (1\times10^7)^2}
r=2×9×109×5×10−6×1,6×10−199,1×10−31×1014r = \frac{2 \times 9\times10^9 \times 5\times10^{-6} \times 1{,}6\times10^{-19}}{9{,}1\times10^{-31} \times 10^{14}}
r=2×7,2×10−159,1×10−17=1,44×10−149,1×10−17r = \frac{2 \times 7{,}2\times10^{-15}}{9{,}1\times10^{-17}} = \frac{1{,}44\times10^{-14}}{9{,}1\times10^{-17}}
r≈158,2 m\boxed{r \approx 158{,}2 \text{ m}}
ii) Módulo y carácter de la fuerza a esa distancia

Aplicamos la ley de Coulomb para calcular el módulo de la fuerza entre la carga Q=−5 μCQ = -5\ \mu\text{C} y el electrón (carga q=−e=−1,6×10−19q = -e = -1{,}6\times10^{-19} C) a la distancia r≈158,2r \approx 158{,}2 m:

F=k∣Q∣⋅∣q∣r2F = k\frac{|Q|\cdot|q|}{r^2}
F=9×109×5×10−6×1,6×10−19(158,2)2F = \frac{9\times10^9 \times 5\times10^{-6} \times 1{,}6\times10^{-19}}{(158{,}2)^2}
F=9×109×8×10−252,502×104F = \frac{9\times10^9 \times 8\times10^{-25}}{2{,}502\times10^4}
F=7,2×10−152,502×104F = \frac{7{,}2\times10^{-15}}{2{,}502\times10^4}
F≈2,88×10−19 N\boxed{F \approx 2{,}88\times10^{-19} \text{ N}}

En cuanto al carácter de la fuerza: como el electrón y la carga fija tienen el mismo signo (ambos negativos), la interacción entre ellos es REPULSIVA. Esta fuerza repulsiva es la que ha frenado al electrón hasta detenerlo.