T4: Funciones · Asíntotas y continuidad — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%2525252525C3%2525252525ADa 2024

Asíntotas y continuidad

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

Sea $f$ la función definida por:

f(x) = \frac{ax^3 + bx^2 + x - 1}{x^2 - 1}, \text{ para } x \neq \pm 1

Sabiendo que su gráfica tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto $(0, 1)$ y es paralela a la recta $y = 2x$ , calcula la asíntota oblicua y los valores de $a$ y $b$ .

Asíntota oblicuaCálculo de parámetros

Determinación de la asíntota oblicua

La ecuación de una asíntota oblicua es de la forma $y = mx + n$ . Se nos indica que la asíntota es paralela a la recta $y = 2x$ , por lo que tienen la misma pendiente:

m = 2

Además, se especifica que la asíntota pasa por el punto $(0, 1)$ . Sustituyendo en la ecuación de la recta:

1 = 2(0) + n \implies n = 1

Por lo tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es:

y = 2x + 1

Cálculo de los parámetros $a$ y $b$

Para una función racional, la pendiente $m$ de la asíntota oblicua viene dada por el límite:

m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^3 + bx^2 + x - 1}{x(x^2 - 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^3 + bx^2 + x - 1}{x^3 - x} = a

Como ya sabemos que $m = 2$ , igualamos los resultados para obtener el valor de $a$ :

a = 2

La ordenada en el origen $n$ de la asíntota oblicua se calcula mediante el límite:

n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]

Sustituyendo $a = 2$ y $m = 2$ en la expresión:

n = \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{2x^3 + bx^2 + x - 1}{x^2 - 1} - 2x \right]

Realizamos la operación algebraica para simplificar la fracción:

n = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + bx^2 + x - 1 - 2x(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + bx^2 + x - 1 - 2x^3 + 2x}{x^2 - 1}

n = \lim_{x \to \infty} \frac{bx^2 + 3x - 1}{x^2 - 1} = b

Como el valor de $n$ obtenido anteriormente es $1$ , igualamos:

b = 1

Resultado final

La asíntota oblicua es $y = 2x + 1$ y los valores de los parámetros son $a = 2$ y $b = 1$ .