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T3: Vibraciones y ondas
Ondas sísmicas
Problema
2026 · Extraordinaria · Titular
C-b
Examen
b) Las ondas sísmicas S, que viajan a través de la Tierra generando oscilaciones durante los terremotos, producen daños sobre edificios y estructuras. Una onda armónica S, que se propaga por el interior de la corteza terrestre, obedece a la ecuación: y(x,t)=0,6 sen(3,125⋅10−7x–1,25⋅10−3t) (S.I.)y(x,t) = 0,6 \text{ sen}(3,125 \cdot 10^{-7} x – 1,25 \cdot 10^{-3} t) \text{ (S.I.)} i) Calcule la longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación de la onda. ii) Si se produce un seísmo a una distancia de 400 km400 \text{ km} de una ciudad, ¿cuánto tiempo transcurre hasta que se perciben los efectos del seísmo en la población? ¿Con qué velocidad máxima oscilarán las partículas del medio?
Ondas armónicasLongitud de ondaFrecuencia+2
b) La ecuación general de una onda armónica es y(x,t)=A sen(kx−ωt)y(x,t) = A \text{ sen}(kx - \omega t), donde AA es la amplitud, kk el número de onda y ω\omega la frecuencia angular. Comparando la ecuación dada y(x,t)=0,6 sen(3,125⋅10−7x–1,25⋅10−3t) (S.I.)y(x,t) = 0,6 \text{ sen}(3,125 \cdot 10^{-7} x – 1,25 \cdot 10^{-3} t) \text{ (S.I.)} con la forma general, identificamos los siguientes valores:
A=0,6 mA = 0,6 \text{ m}
k=3,125⋅10−7 rad⋅m−1k = 3,125 \cdot 10^{-7} \text{ rad} \cdot \text{m}^{-1}
ω=1,25⋅10−3 rad⋅s−1\omega = 1,25 \cdot 10^{-3} \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}
i) Calcule la longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación de la onda.

La longitud de onda (λ\lambda) se relaciona con el número de onda (kk) mediante la expresión:

k=2πλ⇒λ=2πkk = \frac{2\pi}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \frac{2\pi}{k}
λ=2π rad3,125⋅10−7 rad⋅m−1≈2,0096⋅107 m\lambda = \frac{2\pi \text{ rad}}{3,125 \cdot 10^{-7} \text{ rad} \cdot \text{m}^{-1}} \approx 2,0096 \cdot 10^{7} \text{ m}

La frecuencia (ff) se relaciona con la frecuencia angular (ω\omega) mediante la expresión:

ω=2πf⇒f=ω2π\omega = 2\pi f \Rightarrow f = \frac{\omega}{2\pi}
f=1,25⋅10−3 rad⋅s−12π rad≈1,9894⋅10−4 Hzf = \frac{1,25 \cdot 10^{-3} \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}}{2\pi \text{ rad}} \approx 1,9894 \cdot 10^{-4} \text{ Hz}

La velocidad de propagación (vv) de la onda se puede calcular de dos formas:

v=ωkv = \frac{\omega}{k}
v=1,25⋅10−3 rad⋅s−13,125⋅10−7 rad⋅m−1=4000 m⋅s−1v = \frac{1,25 \cdot 10^{-3} \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}}{3,125 \cdot 10^{-7} \text{ rad} \cdot \text{m}^{-1}} = 4000 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

O bien:

v=λfv = \lambda f
v=(2,0096⋅107 m)⋅(1,9894⋅10−4 Hz)≈4000 m⋅s−1v = (2,0096 \cdot 10^{7} \text{ m}) \cdot (1,9894 \cdot 10^{-4} \text{ Hz}) \approx 4000 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}
ii) Si se produce un seísmo a una distancia de 400 km400 \text{ km} de una ciudad, ¿cuánto tiempo transcurre hasta que se perciben los efectos del seísmo en la población? ¿Con qué velocidad máxima oscilarán las partículas del medio?

Para calcular el tiempo que transcurre, usamos la relación entre distancia, velocidad y tiempo:

d=v⋅t⇒t=dvd = v \cdot t \Rightarrow t = \frac{d}{v}

La distancia es 400 km=400⋅103 m400 \text{ km} = 400 \cdot 10^3 \text{ m}. La velocidad de propagación calculada es v=4000 m⋅s−1v = 4000 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}.

t=400⋅103 m4000 m⋅s−1=100 st = \frac{400 \cdot 10^3 \text{ m}}{4000 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}} = 100 \text{ s}

La velocidad de oscilación de las partículas del medio (vy(x,t)v_y(x,t)) se obtiene derivando la ecuación de la onda respecto al tiempo:

y(x,t)=A sen(kx−ωt)y(x,t) = A \text{ sen}(kx - \omega t)
vy(x,t)=∂y∂t=−Aω cos(kx−ωt)v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega \text{ cos}(kx - \omega t)

La velocidad máxima de oscilación (vmaxv_{max}) ocurre cuando el término cos(kx−ωt)\text{cos}(kx - \omega t) es ±1\pm 1. Por lo tanto:

vmax=Aωv_{max} = A\omega
vmax=(0,6 m)⋅(1,25⋅10−3 rad⋅s−1)=0,75⋅10−3 m⋅s−1=7,5⋅10−4 m⋅s−1v_{max} = (0,6 \text{ m}) \cdot (1,25 \cdot 10^{-3} \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}) = 0,75 \cdot 10^{-3} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} = 7,5 \cdot 10^{-4} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}