a) Calcule la derivada de las siguientes funciones: f ( x ) = ( − 5 + x 2 ) 2 ⋅ e 3 x f(x) = (-5 + x^2)^2 \cdot e^{3x} f ( x ) = ( − 5 + x 2 ) 2 ⋅ e 3 x y g ( x ) = ln ( x 3 − 5 x ) 1 − x 2 g(x) = \frac{\ln(x^3 - 5x)}{1 - x^2} g ( x ) = 1 − x 2 l n ( x 3 − 5 x ) Para derivar la función f ( x ) f(x) f ( x ) , aplicamos la regla del producto ( u ⋅ v ) ′ = u ′ v + u v ′ (u \cdot v)' = u'v + uv' ( u ⋅ v ) ′ = u ′ v + u v ′ y la regla de la cadena para la potencia y la exponencial:
f ′ ( x ) = 2 ( − 5 + x 2 ) ⋅ ( 2 x ) ⋅ e 3 x + ( − 5 + x 2 ) 2 ⋅ e 3 x ⋅ 3 f'(x) = 2(-5 + x^2) \cdot (2x) \cdot e^{3x} + (-5 + x^2)^2 \cdot e^{3x} \cdot 3 f ′ ( x ) = 2 ( − 5 + x 2 ) ⋅ ( 2 x ) ⋅ e 3 x + ( − 5 + x 2 ) 2 ⋅ e 3 x ⋅ 3 Factorizando la expresión resultante para simplificarla:
f ′ ( x ) = e 3 x ( − 5 + x 2 ) [ 4 x + 3 ( − 5 + x 2 ) ] = e 3 x ( x 2 − 5 ) ( 3 x 2 + 4 x − 15 ) f'(x) = e^{3x}(-5 + x^2) [4x + 3(-5 + x^2)] = e^{3x}(x^2 - 5)(3x^2 + 4x - 15) f ′ ( x ) = e 3 x ( − 5 + x 2 ) [ 4 x + 3 ( − 5 + x 2 )] = e 3 x ( x 2 − 5 ) ( 3 x 2 + 4 x − 15 ) Para la función g ( x ) g(x) g ( x ) , aplicamos la regla del cociente ( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} ( v u ) ′ = v 2 u ′ v − u v ′ :
g ′ ( x ) = 3 x 2 − 5 x 3 − 5 x ⋅ ( 1 − x 2 ) − ln ( x 3 − 5 x ) ⋅ ( − 2 x ) ( 1 − x 2 ) 2 g'(x) = \frac{\frac{3x^2 - 5}{x^3 - 5x} \cdot (1 - x^2) - \ln(x^3 - 5x) \cdot (-2x)}{(1 - x^2)^2} g ′ ( x ) = ( 1 − x 2 ) 2 x 3 − 5 x 3 x 2 − 5 ⋅ ( 1 − x 2 ) − l n ( x 3 − 5 x ) ⋅ ( − 2 x ) Operando en el numerador para obtener una única fracción:
g ′ ( x ) = ( 3 x 2 − 5 ) ( 1 − x 2 ) + 2 x ( x 3 − 5 x ) ln ( x 3 − 5 x ) ( x 3 − 5 x ) ( 1 − x 2 ) 2 g'(x) = \frac{(3x^2 - 5)(1 - x^2) + 2x(x^3 - 5x)\ln(x^3 - 5x)}{(x^3 - 5x)(1 - x^2)^2} g ′ ( x ) = ( x 3 − 5 x ) ( 1 − x 2 ) 2 ( 3 x 2 − 5 ) ( 1 − x 2 ) + 2 x ( x 3 − 5 x ) l n ( x 3 − 5 x ) b) Calcule el área del recinto acotado por la gráfica de h ( x ) = − x 2 + 2 x + 3 h(x) = -x^2 + 2x + 3 h ( x ) = − x 2 + 2 x + 3 y el eje de abscisas. Primero determinamos los puntos de corte de la parábola con el eje X X X resolviendo la ecuación h ( x ) = 0 h(x) = 0 h ( x ) = 0 :
− x 2 + 2 x + 3 = 0 ⟹ x = − 2 ± 2 2 − 4 ( − 1 ) ( 3 ) 2 ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 -x^2 + 2x + 3 = 0 \implies x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-1)(3)}}{2(-1)} = \frac{-2 \pm 4}{-2} − x 2 + 2 x + 3 = 0 ⟹ x = 2 ( − 1 ) − 2 ± 2 2 − 4 ( − 1 ) ( 3 ) = − 2 − 2 ± 4 Obtenemos los límites de integración x = − 1 x = -1 x = − 1 y x = 3 x = 3 x = 3 . El área viene dada por la integral definida de la función en dicho intervalo:
A = ∫ − 1 3 ( − x 2 + 2 x + 3 ) d x A = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx A = ∫ − 1 3 ( − x 2 + 2 x + 3 ) d x Calculamos la primitiva y aplicamos la regla de Barrow:
A = [ − x 3 3 + x 2 + 3 x ] − 1 3 A = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^{3} A = [ − 3 x 3 + x 2 + 3 x ] − 1 3 A = ( − 3 3 3 + 3 2 + 3 ( 3 ) ) − ( − ( − 1 ) 3 3 + ( − 1 ) 2 + 3 ( − 1 ) ) A = \left( -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3(3) \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) \right) A = ( − 3 3 3 + 3 2 + 3 ( 3 ) ) − ( − 3 ( − 1 ) 3 + ( − 1 ) 2 + 3 ( − 1 ) ) A = ( − 9 + 9 + 9 ) − ( 1 3 + 1 − 3 ) = 9 − ( − 5 3 ) = 32 3 u 2 A = (-9 + 9 + 9) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right) = 9 - \left( -\frac{5}{3} \right) = \frac{32}{3} \text{ u}^2 A = ( − 9 + 9 + 9 ) − ( 3 1 + 1 − 3 ) = 9 − ( − 3 5 ) = 3 32 u 2 
