La función dada es f(x)=ax3+bx2+cx+d. Primero, calculamos su derivada:
f′(x)=3ax2+2bx+c Ahora utilizamos las condiciones dadas para establecer un sistema de ecuaciones.
1. La función tiene un punto crítico en x=0:Esto implica que f′(0)=0.
f′(0)=3a(0)2+2b(0)+c=c De aquí obtenemos la primera ecuación:
2. La gráfica pasa por el punto (0,3):Esto implica que f(0)=3.
f(0)=a(0)3+b(0)2+c(0)+d=d De aquí obtenemos la segunda ecuación:
Hasta ahora tenemos c=0 y d=3. La función y su derivada quedan como:
f(x)=ax3+bx2+3 f′(x)=3ax2+2bx Esto nos da dos condiciones:
a) El punto de tangencia pertenece tanto a la función f(x) como a la recta tangente. Para x=1, el punto en la recta es y=−2(1)+2=0. Por lo tanto, f(1)=0.
f(1)=a(1)3+b(1)2+3=a+b+3 Esto nos lleva a la ecuación:
a+b+3=0⟹a+b=−3(Ecuacioˊn 1) b) La pendiente de la recta tangente en x=1 es igual a la derivada de la función en ese punto. La pendiente de la recta y=−2x+2 es −2. Por lo tanto, f′(1)=−2.
f′(1)=3a(1)2+2b(1)=3a+2b Esto nos lleva a la ecuación:
3a+2b=−2(Ecuacioˊn 2) Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones con a y b:
{a+b=−3(1)3a+2b=−2(2) De la Ecuación 1, despejamos b: b=−3−a. Sustituimos esta expresión en la Ecuación 2:
3a + 2(-3 - a) = -2
3a−6−2a=−2 Sustituimos el valor de a en la expresión de b:
Por lo tanto, los valores de los coeficientes son:
