T6: Teoría de muestras · Inferencia para proporciones — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andaluc%252525252525C3%252525252525ADa 2022

Inferencia para proporciones

Problema

2022 · Ordinaria · Reserva

BLOQUE D

Un taller desea estimar el grado de satisfacción de sus clientes. Para ello, a 120 clientes seleccionados al azar, les pregunta si volverían a solicitar sus servicios en caso de necesitarlo, de los que 96 respondieron que sí lo harían.

a) Determine, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de clientes de este taller que volverían a solicitar sus servicios.b) Mediante una nueva muestra queremos estimar la proporción de clientes de ese taller que volverían a solicitar sus servicios con un error máximo del 5% y un nivel de confianza del 97%. Suponiendo que se mantiene la proporción muestral, ¿qué tamaño mínimo debe tener dicha muestra?

Intervalo de confianzaProporción muestralTamaño de la muestra

a) Determine, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de clientes de este taller que volverían a solicitar sus servicios.

Los datos proporcionados son:Tamaño de la muestra: $n = 120$ Número de clientes que volverían: $x = 96$ La proporción muestral ( $\hat{p}$ ) es:

\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{96}{120} = 0.8

La proporción de clientes que no volverían ( $\hat{q}$ ) es:

\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.8 = 0.2

El nivel de confianza es del 95%, lo que implica que $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ . Por lo tanto, $\alpha/2 = 0.025$ .El valor crítico $z_{\alpha/2}$ se busca en las tablas de la distribución normal estándar para una probabilidad acumulada de $1 - \alpha/2 = 1 - 0.025 = 0.975$ .

z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción poblacional ( $p$ ) es:

IC = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right)

Sustituyendo los valores:

IC = \left( 0.8 - 1.96 \sqrt{\frac{0.8(0.2)}{120}}, 0.8 + 1.96 \sqrt{\frac{0.8(0.2)}{120}} \right)

IC = \left( 0.8 - 1.96 \sqrt{\frac{0.16}{120}}, 0.8 + 1.96 \sqrt{\frac{0.16}{120}} \right)

IC = \left( 0.8 - 1.96 \sqrt{0.0013333...}, 0.8 + 1.96 \sqrt{0.0013333...} \right)

IC = \left( 0.8 - 1.96 \cdot 0.03651, 0.8 + 1.96 \cdot 0.03651 \right)

IC = \left( 0.8 - 0.07156, 0.8 + 0.07156 \right)

IC = \left( 0.72844, 0.87156 \right)

El intervalo de confianza del 95% para la proporción de clientes que volverían a solicitar los servicios del taller es $(0.728, 0.872)$ .

b) Mediante una nueva muestra queremos estimar la proporción de clientes de ese taller que volverían a solicitar sus servicios con un error máximo del 5% y un nivel de confianza del 97%. Suponiendo que se mantiene la proporción muestral, ¿qué tamaño mínimo debe tener dicha muestra?

Los datos para la nueva muestra son:Error máximo permitido: $E = 5\% = 0.05$ Nivel de confianza: 97%, lo que implica $\alpha = 1 - 0.97 = 0.03$ . Por lo tanto, $\alpha/2 = 0.015$ .El valor crítico $z_{\alpha/2}$ se busca para una probabilidad acumulada de $1 - \alpha/2 = 1 - 0.015 = 0.985$ .

z_{\alpha/2} = z_{0.015} \approx 2.17

Suponiendo que se mantiene la proporción muestral del apartado a):

\hat{p} = 0.8

\hat{q} = 0.2

La fórmula para el tamaño de la muestra ( $n$ ) en la estimación de una proporción es:

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}

Sustituyendo los valores:

n = \frac{(2.17)^2 \cdot 0.8(0.2)}{(0.05)^2}

n = \frac{4.7089 \cdot 0.16}{0.0025}

n = \frac{0.753424}{0.0025}

n = 301.3696

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero y debemos garantizar que el error máximo no supere el 5%, se debe redondear al entero superior.El tamaño mínimo que debe tener dicha muestra es $302$ clientes.