T5: Integrales · Aplicaciones de la integral — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%252525252525C3%252525252525ADa 2024

Aplicaciones de la integral

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

Considera la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por

f(x) = \int_0^x \cos(t) \text{sen}^2(t) dt

Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = \frac{\pi}{4}$ .

Teorema fundamental del cálculoRecta tangenteRecta normal

Determinación de las rectas tangente y normal

Para hallar las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = \frac{\pi}{4}$ , necesitamos calcular el valor de la función $f(\frac{\pi}{4})$ y el valor de su derivada $f'(\frac{\pi}{4})$ .Primero, calculamos el valor de la ordenada $f(\frac{\pi}{4})$ integrando la función. Observamos que la integral es de tipo casi inmediata, donde la derivada de $\text{sen}(t)$ es $\cos(t)$ :

f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos(t) \text{sen}^2(t) dt = \left[ \frac{\text{sen}^3(t)}{3} \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\text{sen}^3(\frac{\pi}{4})}{3} - \frac{\text{sen}^3(0)}{3}

Sabiendo que $\text{sen}(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\text{sen}(0) = 0$ :

f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{(\frac{\sqrt{2}}{2})^3}{3} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{8}}{3} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{12}

A continuación, calculamos la derivada de la función utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo. Dado que $f(x) = \int_0^x \cos(t) \text{sen}^2(t) dt$ , la derivada es simplemente el integrando evaluado en el límite superior:

f'(x) = \cos(x) \text{sen}^2(x)

Calculamos la pendiente de la recta tangente $m_t$ evaluando en $x = \frac{\pi}{4}$ :

m_t = f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \text{sen}^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4}

La ecuación de la recta tangente en el punto $(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{12})$ mediante la fórmula punto-pendiente $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ es:

y - \frac{\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{4} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)

La pendiente de la recta normal $m_n$ es el valor recíproco y opuesto de la pendiente de la tangente:

m_n = -\frac{1}{f'(\frac{\pi}{4})} = -\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}

Finalmente, la ecuación de la recta normal en el mismo punto es:

y - \frac{\sqrt{2}}{12} = -2\sqrt{2} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)