T3: Vibraciones y ondas · Ondas estacionarias — FISICA PEvAU Andaluc%252525252525C3%252525252525ADa 2026

Ondas estacionarias

Problema

2026 · Ordinaria · Titular

C-b2

b2) La cuerda de una guitarra vibra de acuerdo con la ecuación:$y(x,t) = 0.01 \text{ sen}(10 \pi x) \cos(200 \pi t)$ (S.I.).\n i) Indique qué tipo de onda es. ii) Calcule la amplitud y la velocidad de propagación de las ondas cuya superposición da lugar a dicha onda. iii) Determine la velocidad de oscilación de un punto de la cuerda situada en el punto $x = 10 \text{ cm}$. Razone su respuesta.

Onda estacionariaAmplitudVelocidad de propagación+1

Onda estacionaria en una cuerda de guitarra

La ecuación de la onda es: $y(x,t) = 0{,}01 \ \text{sen}(10\pi x)\cos(200\pi t)$ (S.I.)

i) Tipo de onda

La ecuación tiene la forma $y(x,t) = A\,\text{sen}(kx)\cos(\omega t)$ , que es el producto de una función solo de $x$ por una función solo de $t$ . Esto es la forma característica de una onda estacionaria (u onda estacionaria de vibración). Se forma por la superposición de dos ondas progresivas de igual amplitud, frecuencia y longitud de onda que se propagan en sentidos opuestos.

ii) Amplitud y velocidad de propagación de las ondas componentes

Una onda estacionaria resulta de la superposición de dos ondas viajeras:

y_1 = A\,\text{sen}(kx - \omega t) \quad \text{e} \quad y_2 = A\,\text{sen}(kx + \omega t)

cuya suma da: $y = 2A\,\text{sen}(kx)\cos(\omega t)$ Comparando con $y(x,t) = 0{,}01\,\text{sen}(10\pi x)\cos(200\pi t)$ , se identifican:

2A = 0{,}01 \ \text{m} \implies A = 0{,}005 \ \text{m} = 5 \times 10^{-3} \ \text{m}

k = 10\pi \ \text{rad/m} \qquad \omega = 200\pi \ \text{rad/s}

La velocidad de propagación de cada onda componente es:

v = \frac{\omega}{k} = \frac{200\pi}{10\pi} = 20 \ \text{m/s}

iii) Velocidad de oscilación en

x = 10

= 0{,}10

La velocidad de oscilación (velocidad transversal) de un punto de la cuerda es la derivada parcial de $y$ respecto al tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -0{,}01 \cdot 200\pi \ \text{sen}(10\pi x)\,\text{sen}(200\pi t)

v_y(x,t) = -2\pi \ \text{sen}(10\pi x)\,\text{sen}(200\pi t) \ \text{(m/s)}

En $x = 0{,}10$ m:

\text{sen}(10\pi \cdot 0{,}10) = \text{sen}(\pi) = 0

Por tanto:

v_y(0{,}10, t) = -2\pi \cdot 0 \cdot \text{sen}(200\pi t) = 0 \ \text{m/s}

El punto $x = 0{,}10$ m es un nodo de la onda estacionaria, ya que $\text{sen}(10\pi \cdot 0{,}10) = \text{sen}(\pi) = 0$ . Los nodos son puntos que permanecen en reposo en todo momento, por lo que su velocidad de oscilación es nula para cualquier instante $t$ .