1. Determinación de la ecuación del plano $\pi$
Para hallar la ecuación del plano determinado por los puntos A ( − 1 , 0 , 0 ) A(-1, 0, 0) A ( − 1 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 1 , 1 ) B(0, 1, 1) B ( 0 , 1 , 1 ) y C ( 2 , 1 , 0 ) C(2, 1, 0) C ( 2 , 1 , 0 ) , obtenemos primero dos vectores directores del mismo:
A B ⃗ = B − A = ( 0 − ( − 1 ) , 1 − 0 , 1 − 0 ) = ( 1 , 1 , 1 ) \vec{AB} = B - A = (0 - (-1), 1 - 0, 1 - 0) = (1, 1, 1) A B = B − A = ( 0 − ( − 1 ) , 1 − 0 , 1 − 0 ) = ( 1 , 1 , 1 ) A C ⃗ = C − A = ( 2 − ( − 1 ) , 1 − 0 , 0 − 0 ) = ( 3 , 1 , 0 ) \vec{AC} = C - A = (2 - (-1), 1 - 0, 0 - 0) = (3, 1, 0) A C = C − A = ( 2 − ( − 1 ) , 1 − 0 , 0 − 0 ) = ( 3 , 1 , 0 ) Calculamos el vector normal n π ⃗ \vec{n_\pi} n π mediante el producto vectorial de ambos vectores directores:
n π ⃗ = A B ⃗ × A C ⃗ = ∣ i j k 1 1 1 3 1 0 ∣ = ( − 1 , 3 , − 2 ) \vec{n_\pi} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (-1, 3, -2) n π = A B × A C = i 1 3 j 1 1 k 1 0 = ( − 1 , 3 , − 2 ) La ecuación general del plano es − 1 ( x + 1 ) + 3 ( y − 0 ) − 2 ( z − 0 ) = 0 -1(x + 1) + 3(y - 0) - 2(z - 0) = 0 − 1 ( x + 1 ) + 3 ( y − 0 ) − 2 ( z − 0 ) = 0 , lo que simplificando resulta en:
π ≡ x − 3 y + 2 z + 1 = 0 \pi \equiv x - 3y + 2z + 1 = 0 π ≡ x − 3 y + 2 z + 1 = 0 2. Expresión paramétrica de la recta $r$
Despejamos x x x e y y y en función de z z z en las ecuaciones implícitas de la recta r r r , haciendo z = λ z = \lambda z = λ :
r ≡ { x = 3 + 2 λ y = 2 + λ z = λ r \equiv \begin{cases} x = 3 + 2\lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases} r ≡ ⎩ ⎨ ⎧ x = 3 + 2 λ y = 2 + λ z = λ Por tanto, un punto genérico P P P de la recta r r r tiene la forma P ( 3 + 2 λ , 2 + λ , λ ) P(3 + 2\lambda, 2 + \lambda, \lambda) P ( 3 + 2 λ , 2 + λ , λ ) .
3. Aplicación de la condición de distancia
Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto P P P a un plano π \pi π e igualamos al valor dado 14 \sqrt{14} 14 :
d ( P , π ) = ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 = 14 d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \sqrt{14} d ( P , π ) = A 2 + B 2 + C 2 ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ = 14 \frac{|(3 + 2\lambda) - 3(2 + \lambda) + 2\lambda + 1|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2}} = \sqrt{14}
Simplificamos el numerador y operamos el denominador:
∣ λ − 2 ∣ 14 = 14 ⟹ ∣ λ − 2 ∣ = 14 \frac{|\lambda - 2|}{\sqrt{14}} = \sqrt{14} \implies |\lambda - 2| = 14 14 ∣ λ − 2∣ = 14 ⟹ ∣ λ − 2∣ = 14 Resolvemos la ecuación con valor absoluto, lo que nos da dos posibles valores para el parámetro λ \lambda λ : Caso 1: λ − 2 = 14 ⟹ λ 1 = 16 \lambda - 2 = 14 \implies \lambda_1 = 16 λ − 2 = 14 ⟹ λ 1 = 16 Caso 2: λ − 2 = − 14 ⟹ λ 2 = − 12 \lambda - 2 = -14 \implies \lambda_2 = -12 λ − 2 = − 14 ⟹ λ 2 = − 12
4. Obtención de los puntos buscados
Sustituimos los valores obtenidos de λ \lambda λ en la expresión del punto genérico P P P : Para λ 1 = 16 \lambda_1 = 16 λ 1 = 16 : P 1 ( 3 + 2 ( 16 ) , 2 + 16 , 16 ) = ( 35 , 18 , 16 ) P_1(3 + 2(16), 2 + 16, 16) = (35, 18, 16) P 1 ( 3 + 2 ( 16 ) , 2 + 16 , 16 ) = ( 35 , 18 , 16 ) Para λ 2 = − 12 \lambda_2 = -12 λ 2 = − 12 : P 2 ( 3 + 2 ( − 12 ) , 2 − 12 , − 12 ) = ( − 21 , − 10 , − 12 ) P_2(3 + 2(-12), 2 - 12, -12) = (-21, -10, -12) P 2 ( 3 + 2 ( − 12 ) , 2 − 12 , − 12 ) = ( − 21 , − 10 , − 12 )
