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T1: Interacción gravitatoria
Campo y fuerza gravitatoria
Problema
2020 · Ordinaria · Suplente
1-b
Examen
1. b) Dos masas de {{m1}} se encuentran situadas en los puntos (0,0) m y (4,0) m. i) Represente en un esquema el campo gravitatorio creado por las dos masas en el punto (4,4) m y calcule su valor. ii) Si colocamos una masa de {{m2}} en ese punto, ¿cuál será la fuerza que experimentará?

Dato: G=6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2

Campo gravitatorioFuerza gravitatoria
b) i) Represente en un esquema el campo gravitatorio creado por las dos masas en el punto (4,4) m y calcule su valor.

Denominemos MAM_A a la masa en (0,0)(0,0) m y MBM_B a la masa en (4,0)(4,0) m. Ambas tienen un valor de m1=1 kgm_1 = 1 \text{ kg}. El punto de interés es P=(4,4)P=(4,4) m.

XYmM_A (0,0)mM_B (4,0)P (4,4)g1g2g_neta

El campo gravitatorio g⃗\vec{g} creado por una masa puntual MM en un punto PP se define como:

g⃗=−GMr2u^r\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \hat{u}_{r}

donde G=6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2 es la constante de gravitación universal, MM es la masa que crea el campo, rr es la distancia desde la masa al punto PP, y u^r\hat{u}_{r} es el vector unitario que apunta desde la masa hacia el punto PP. El signo negativo indica que el campo gravitatorio es un campo atractivo, es decir, el vector g⃗\vec{g} apunta hacia la masa que lo crea.Primero, calculamos el campo gravitatorio g⃗A\vec{g}_A debido a la masa MA=m1=1 kgM_A = m_1 = 1 \text{ kg} en (0,0)(0,0) m en el punto P=(4,4)P=(4,4) m.

r⃗AP=P−(0,0)=(4i⃗+4j⃗) m\vec{r}_{AP} = P - (0,0) = (4\vec{i} + 4\vec{j}) \text{ m}
rAP=∣r⃗AP∣=42+42=16+16=32=42 mr_{AP} = |\vec{r}_{AP}| = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ m}
u^AP=r⃗APrAP=4i⃗+4j⃗42=(12i⃗+12j⃗)=(22i⃗+22j⃗)\hat{u}_{AP} = \frac{\vec{r}_{AP}}{r_{AP}} = \frac{4\vec{i} + 4\vec{j}}{4\sqrt{2}} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{j}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{i} + \frac{\sqrt{2}}{2}\vec{j}\right)
g⃗A=−GMArAP2u^AP\vec{g}_A = -G \frac{M_A}{r_{AP}^2} \hat{u}_{AP}
g⃗A=−6,67⋅10−111 kg(32)2 m2(22i⃗+22j⃗)\vec{g}_A = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{1 \text{ kg}}{(\sqrt{32})^2 \text{ m}^2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{i} + \frac{\sqrt{2}}{2}\vec{j}\right)
g⃗A=−6,67⋅10−11132(0,7071i⃗+0,7071j⃗) N/kg\vec{g}_A = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{1}{32} (0,7071\vec{i} + 0,7071\vec{j}) \text{ N/kg}
g⃗A≈(−1,472⋅10−12i⃗−1,472⋅10−12j⃗) N/kg\vec{g}_A \approx (-1,472 \cdot 10^{-12} \vec{i} - 1,472 \cdot 10^{-12} \vec{j}) \text{ N/kg}

Ahora, calculamos el campo gravitatorio g⃗B\vec{g}_B debido a la masa MB=m1=1 kgM_B = m_1 = 1 \text{ kg} en (4,0)(4,0) m en el punto P=(4,4)P=(4,4) m.

r⃗BP=P−(4,0)=(0i⃗+4j⃗) m\vec{r}_{BP} = P - (4,0) = (0\vec{i} + 4\vec{j}) \text{ m}
rBP=∣r⃗BP∣=02+42=4 mr_{BP} = |\vec{r}_{BP}| = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4 \text{ m}
u^BP=r⃗BPrBP=4j⃗4=j⃗\hat{u}_{BP} = \frac{\vec{r}_{BP}}{r_{BP}} = \frac{4\vec{j}}{4} = \vec{j}
g⃗B=−GMBrBP2u^BP\vec{g}_B = -G \frac{M_B}{r_{BP}^2} \hat{u}_{BP}
g⃗B=−6,67⋅10−111 kg(4)2 m2j⃗\vec{g}_B = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{1 \text{ kg}}{(4)^2 \text{ m}^2} \vec{j}
g⃗B=−6,67⋅10−11116j⃗ N/kg\vec{g}_B = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{1}{16} \vec{j} \text{ N/kg}
g⃗B≈(0i⃗−4,169⋅10−12j⃗) N/kg\vec{g}_B \approx (0 \vec{i} - 4,169 \cdot 10^{-12} \vec{j}) \text{ N/kg}

El campo gravitatorio total g⃗P\vec{g}_P en el punto PP es la suma vectorial de g⃗A\vec{g}_A y g⃗B\vec{g}_B:

g⃗P=g⃗A+g⃗B\vec{g}_P = \vec{g}_A + \vec{g}_B
g⃗P=(−1,472⋅10−12i⃗−1,472⋅10−12j⃗)+(0i⃗−4,169⋅10−12j⃗)\vec{g}_P = (-1,472 \cdot 10^{-12} \vec{i} - 1,472 \cdot 10^{-12} \vec{j}) + (0 \vec{i} - 4,169 \cdot 10^{-12} \vec{j})
g⃗P=(−1,472⋅10−12i⃗−(1,472+4,169)⋅10−12j⃗) N/kg\vec{g}_P = (-1,472 \cdot 10^{-12} \vec{i} - (1,472 + 4,169) \cdot 10^{-12} \vec{j}) \text{ N/kg}
g⃗P=(−1,472⋅10−12i⃗−5,641⋅10−12j⃗) N/kg\vec{g}_P = (-1,472 \cdot 10^{-12} \vec{i} - 5,641 \cdot 10^{-12} \vec{j}) \text{ N/kg}

El módulo del campo gravitatorio es:

∣g⃗P∣=(−1,472⋅10−12)2+(−5,641⋅10−12)2|\vec{g}_P| = \sqrt{(-1,472 \cdot 10^{-12})^2 + (-5,641 \cdot 10^{-12})^2}
∣g⃗P∣=2,167⋅10−24+31,82⋅10−24|\vec{g}_P| = \sqrt{2,167 \cdot 10^{-24} + 31,82 \cdot 10^{-24}}
∣g⃗P∣=33,987⋅10−24 N/kg|\vec{g}_P| = \sqrt{33,987 \cdot 10^{-24}} \text{ N/kg}
∣g⃗P∣≈5,83⋅10−12 N/kg|\vec{g}_P| \approx 5,83 \cdot 10^{-12} \text{ N/kg}
b) ii) Si colocamos una masa de m2=2 kgm_2 = 2 \text{ kg} en ese punto, ¿cuál será la fuerza que experimentará?

La fuerza F⃗\vec{F} que experimenta una masa mC=m2=2 kgm_C = m_2 = 2 \text{ kg} colocada en un campo gravitatorio g⃗P\vec{g}_P es:

F⃗=mCg⃗P\vec{F} = m_C \vec{g}_P
F⃗=2 kg⋅(−1,472⋅10−12i⃗−5,641⋅10−12j⃗) N/kg\vec{F} = 2 \text{ kg} \cdot (-1,472 \cdot 10^{-12} \vec{i} - 5,641 \cdot 10^{-12} \vec{j}) \text{ N/kg}
F⃗=(−2,944⋅10−12i⃗−1,1282⋅10−11j⃗) N\vec{F} = (-2,944 \cdot 10^{-12} \vec{i} - 1,1282 \cdot 10^{-11} \vec{j}) \text{ N}

El módulo de la fuerza es:

∣F⃗∣=mC∣g⃗P∣=2 kg⋅5,83⋅10−12 N/kg|\vec{F}| = m_C |\vec{g}_P| = 2 \text{ kg} \cdot 5,83 \cdot 10^{-12} \text{ N/kg}
∣F⃗∣=1,166⋅10−11 N|\vec{F}| = 1,166 \cdot 10^{-11} \text{ N}