T3: Geometría · Geometría de puntos, rectas y áreas — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%25252525252525C3%25252525252525ADa 2021

Geometría de puntos, rectas y áreas

Problema

2021 · Extraordinaria · Reserva

Considera los puntos $B(-1, 0, -1)$ , $C(0, 1, -3)$ y la recta

r \equiv \begin{cases} x = -\lambda \\ y = 1 + 2\lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}

a) Calcula un punto que esté en

r

y equidiste de

B

C

.b) Siendo

D(1, -1, -2)

, calcula el área del triángulo con vértices en los puntos

B, C

D

Distancia entre puntosRectas en el espacioÁrea de un triángulo

a) Para calcular un punto

P

en la recta

r

que equidiste de

B

C

, primero expresamos un punto genérico de

r

en función de

\lambda

. La recta

r

viene dada por

x = -\lambda

y = 1 + 2\lambda

z = -1 + \lambda

. Por tanto, un punto

P

r

tiene coordenadas

P(-\lambda, 1+2\lambda, -1+\lambda)

. Los puntos dados son

B(-1, 0, -1)

C(0, 1, -3)

La condición de equidistancia es $dist(P, B) = dist(P, C)$ , lo que es equivalente a $dist(P, B)^2 = dist(P, C)^2$ para evitar las raíces cuadradas.

dist(P, B)^2 = (-\lambda - (-1))^2 + (1+2\lambda - 0)^2 + (-1+\lambda - (-1))^2 \ = (1-\lambda)^2 + (1+2\lambda)^2 + \lambda^2 \ = (1 - 2\lambda + \lambda^2) + (1 + 4\lambda + 4\lambda^2) + \lambda^2 \ = 6\lambda^2 + 2\lambda + 2

dist(P, C)^2 = (-\lambda - 0)^2 + (1+2\lambda - 1)^2 + (-1+\lambda - (-3))^2 \ = (-\lambda)^2 + (2\lambda)^2 + (2+\lambda)^2 \ = \lambda^2 + 4\lambda^2 + (4 + 4\lambda + \lambda^2) \ = 6\lambda^2 + 4\lambda + 4

Igualando ambas expresiones:

6\lambda^2 + 2\lambda + 2 = 6\lambda^2 + 4\lambda + 4 \ 2\lambda + 2 = 4\lambda + 4 \ -2\lambda = 2 \ \lambda = -1

Sustituyendo $\lambda = -1$ en las coordenadas del punto $P$ :

P(-(-1), 1+2(-1), -1+(-1)) \ P(1, 1-2, -1-1) \ P(1, -1, -2)

El punto en $r$ que equidista de $B$ y $C$ es $P(1, -1, -2)$ .

b) Para calcular el área del triángulo con vértices

B, C, D

, podemos usar la fórmula del área que involucra el módulo del producto vectorial de dos vectores que forman dos lados del triángulo.

Los vértices son $B(-1, 0, -1)$ , $C(0, 1, -3)$ y $D(1, -1, -2)$ . Calculamos dos vectores que forman lados del triángulo, por ejemplo $\vec{BC}$ y $\vec{BD}$ .

\vec{BC} = C - B = (0 - (-1), 1 - 0, -3 - (-1)) = (1, 1, -2)

\vec{BD} = D - B = (1 - (-1), -1 - 0, -2 - (-1)) = (2, -1, -1)

Ahora calculamos el producto vectorial de $\vec{BC}$ y $\vec{BD}$ :

\vec{BC} \times \vec{BD} = \ egin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 1 & 1 & -2 \ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} \ = \mathbf{i}((1)(-1) - (-2)(-1)) - \mathbf{j}((1)(-1) - (-2)(2)) + \mathbf{k}((1)(-1) - (1)(2)) \ = \mathbf{i}(-1 - 2) - \mathbf{j}(-1 - (-4)) + \mathbf{k}(-1 - 2) \ = -3\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 3\mathbf{k} \ = (-3, -3, -3)

El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial:

ext{Área} = rac{1}{2} |\vec{BC} \times \vec{BD}| \ = rac{1}{2} \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + (-3)^2} \ = rac{1}{2} \sqrt{9 + 9 + 9} \ = rac{1}{2} \sqrt{27} \ = rac{1}{2} \sqrt{9 \cdot 3} \ = rac{3\sqrt{3}}{2}

El área del triángulo con vértices $B, C$ y $D$ es $rac{3\sqrt{3}}{2}$ unidades de área.