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T2: Interacción electromagnética
Campo magnético creado por corrientes
Problema
2019 · Extraordinaria · Reserva
2A-b
Examen

Por el hilo A circula la corriente IA=10 AI_A = 10 \text{ A}.

Imagen del ejercicio
b) i) Determine, razonadamente, el valor y sentido de la intensidad IBI_B, si el campo magnético total es cero en el punto P, situado a 0,25 m0,25 \text{ m} a la derecha del hilo A. ii) Calcule la fuerza magnética que ejercen los dos hilos conductores sobre un electrón que se moviera en el mismo plano XY, con una velocidad de 5⋅103 m⋅s−15 \cdot 10^3 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} verticalmente hacia arriba, 0,05 m0,05 \text{ m} a la derecha del hilo B.

Datos: μ0=4π⋅10−7 T⋅m⋅A−1\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}; e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}.

Hilos paralelosFuerza magnéticaLey de Biot y Savart
b) i) Determinación de IBI_B para que el campo sea cero en P

El punto P está situado a 0,25 m a la derecha del hilo A. La separación entre los hilos es 1 m (100 cm), por lo que P está a 0,75 m a la izquierda del hilo B.

XYmHilo A (I_A↑)mHilo B (I_B)mPPg1g2

El campo magnético creado por un hilo conductor infinito a distancia rr es:

B=μ0 I2π rB = \frac{\mu_0 \, I}{2\pi \, r}

La corriente IAI_A sube (sentido +y+y). Por la regla de la mano derecha, el campo B⃗A\vec{B}_A en el punto P (que está a la derecha del hilo A) apunta en dirección −z-z (entrando en la pantalla).

BA=μ0 IA2π rAP=4π×10−7×102π×0,25=4π×10−60,5π=8×10−6 TB_A = \frac{\mu_0 \, I_A}{2\pi \, r_{AP}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{2\pi \times 0{,}25} = \frac{4\pi \times 10^{-6}}{0{,}5\pi} = 8 \times 10^{-6} \text{ T}

Para que el campo total en P sea cero, el hilo B debe crear en P un campo igual en módulo y sentido contrario al de A, es decir B⃗B\vec{B}_B debe apuntar en +z+z (saliendo de la pantalla). Como P está a la izquierda del hilo B, para que el campo en ese punto salga de la pantalla, la corriente IBI_B debe circular hacia arriba (+y+y), igual que IAI_A.Imponiendo BA=BBB_A = B_B:

μ0 IA2π rAP=μ0 IB2π rBP\frac{\mu_0 \, I_A}{2\pi \, r_{AP}} = \frac{\mu_0 \, I_B}{2\pi \, r_{BP}}
IArAP=IBrBP  ⟹  IB=IA⋅rBPrAP=10×0,750,25=30 A\frac{I_A}{r_{AP}} = \frac{I_B}{r_{BP}} \implies I_B = I_A \cdot \frac{r_{BP}}{r_{AP}} = 10 \times \frac{0{,}75}{0{,}25} = 30 \text{ A}

La corriente IB=30I_B = 30 A circula hacia arriba (+y+y), en el mismo sentido que IAI_A.

b) ii) Fuerza magnética sobre el electrón situado 0,05 m a la derecha del hilo B

El electrón se mueve con velocidad v⃗=5×103j^\vec{v} = 5 \times 10^3 \hat{j} m/s en el plano XY, a 0,05 m a la derecha del hilo B. Esta posición está a 1,05 m del hilo A.Campo del hilo A en ese punto (a rA=1,05r_A = 1{,}05 m a la derecha):

BA=μ0 IA2π rA=4π×10−7×102π×1,05=4π×10−62,1π≈1,905×10−6 TB_A = \frac{\mu_0 \, I_A}{2\pi \, r_A} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{2\pi \times 1{,}05} = \frac{4\pi \times 10^{-6}}{2{,}1\pi} \approx 1{,}905 \times 10^{-6} \text{ T}

La corriente IAI_A va hacia arriba y el punto está a la derecha del hilo A, por lo que B⃗A\vec{B}_A apunta en −z-z (entrando).Campo del hilo B en ese punto (a rB=0,05r_B = 0{,}05 m a la derecha):

BB=μ0 IB2π rB=4π×10−7×302π×0,05=12π×10−60,1π=1,2×10−4 TB_B = \frac{\mu_0 \, I_B}{2\pi \, r_B} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 30}{2\pi \times 0{,}05} = \frac{12\pi \times 10^{-6}}{0{,}1\pi} = 1{,}2 \times 10^{-4} \text{ T}

La corriente IBI_B va hacia arriba y el punto está a la derecha del hilo B, por lo que B⃗B\vec{B}_B también apunta en −z-z (entrando).El campo total en ese punto:

B⃗total=−(BA+BB)k^=−(1,905×10−6+1,2×10−4)k^≈−1,219×10−4 T k^\vec{B}_{total} = -(B_A + B_B)\hat{k} = -(1{,}905 \times 10^{-6} + 1{,}2 \times 10^{-4})\hat{k} \approx -1{,}219 \times 10^{-4} \text{ T} \, \hat{k}

La fuerza de Lorentz sobre el electrón (carga q=−e=−1,6×10−19q = -e = -1{,}6 \times 10^{-19} C):

F⃗=q (v⃗×B⃗)\vec{F} = q \, (\vec{v} \times \vec{B})

Calculamos primero el producto vectorial v⃗×B⃗\vec{v} \times \vec{B}:

v⃗×B⃗=(5×103 j^)×(−1,219×10−4 k^)=−5×103×1,219×10−4 (j^×k^)\vec{v} \times \vec{B} = (5 \times 10^3 \, \hat{j}) \times (-1{,}219 \times 10^{-4} \, \hat{k}) = -5 \times 10^3 \times 1{,}219 \times 10^{-4} \, (\hat{j} \times \hat{k})
=−6,095×10−1 i^≈−0,6095 i^ m2⋅T⋅s−1= -6{,}095 \times 10^{-1} \, \hat{i} \approx -0{,}6095 \, \hat{i} \text{ m}^2 \cdot \text{T} \cdot \text{s}^{-1}

Aplicando la carga del electrón:

F⃗=(−1,6×10−19)×(−0,6095 i^)=9,75×10−20 i^ N\vec{F} = (-1{,}6 \times 10^{-19}) \times (-0{,}6095 \, \hat{i}) = 9{,}75 \times 10^{-20} \, \hat{i} \text{ N}

La fuerza magnética sobre el electrón tiene módulo F≈9,75×10−20F \approx 9{,}75 \times 10^{-20} N y está dirigida en la dirección +x+x (hacia la derecha, alejándose de los hilos).