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T4: Funciones
Extremos absolutos y Recta tangente
Problema
2020 · Ordinaria · Titular
5
Examen

Sea f:[0,2π]→Rf: [0, 2\pi] \to \mathbb{R} la función definida por

f(x)=sen x2−cos⁡xf(x) = \frac{\text{sen } x}{2 - \cos x}
a) Halla los extremos absolutos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).b) Determina la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=π3x = \frac{\pi}{3}.
Extremos absolutosRecta tangenteRecta normal+1
a) Halla los extremos absolutos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Para hallar los extremos absolutos de la función f(x)f(x) en el intervalo cerrado [0,2π][0, 2\pi], se deben seguir los siguientes pasos:1. Calcular la derivada de la función f′(x)f'(x).La función es f(x)=sen x2−cos⁡xf(x) = \frac{\text{sen } x}{2 - \cos x}.Aplicamos la regla del cociente para derivar:

f′(x)=(sen x)′(2−cos⁡x)−(sen x)(2−cos⁡x)′(2−cos⁡x)2f'(x) = \frac{(\text{sen } x)'(2 - \cos x) - (\text{sen } x)(2 - \cos x)'}{(2 - \cos x)^2}
f′(x)=cos⁡x(2−cos⁡x)−sen x(sen x)(2−cos⁡x)2f'(x) = \frac{\cos x (2 - \cos x) - \text{sen } x (\text{sen } x)}{(2 - \cos x)^2}
f′(x)=2cos⁡x−cos⁡2x−sen2x(2−cos⁡x)2f'(x) = \frac{2\cos x - \cos^2 x - \text{sen}^2 x}{(2 - \cos x)^2}

Utilizando la identidad trigonométrica sen2x+cos⁡2x=1\text{sen}^2 x + \cos^2 x = 1:

f′(x)=2cos⁡x−(cos⁡2x+sen2x)(2−cos⁡x)2f'(x) = \frac{2\cos x - (\cos^2 x + \text{sen}^2 x)}{(2 - \cos x)^2}
f′(x)=2cos⁡x−1(2−cos⁡x)2f'(x) = \frac{2\cos x - 1}{(2 - \cos x)^2}

2. Encontrar los puntos críticos igualando la derivada a cero, f′(x)=0f'(x) = 0.

2cos⁡x−1(2−cos⁡x)2=0\frac{2\cos x - 1}{(2 - \cos x)^2} = 0

El denominador (2−cos⁡x)2(2 - \cos x)^2 nunca es cero, ya que −1≤cos⁡x≤1-1 \le \cos x \le 1, lo que implica 1≤2−cos⁡x≤31 \le 2 - \cos x \le 3. Por lo tanto, el denominador es siempre positivo y distinto de cero. Debemos igualar el numerador a cero:

2cos⁡x−1=02\cos x - 1 = 0
2cos⁡x=12\cos x = 1
cos⁡x=12\cos x = \frac{1}{2}

En el intervalo [0,2π][0, 2\pi], las soluciones para cos⁡x=12\cos x = \frac{1}{2} son:

x=π3x = \frac{\pi}{3}
x=5π3x = \frac{5\pi}{3}

3. Evaluar la función f(x)f(x) en los puntos críticos y en los extremos del intervalo.Valores en los extremos del intervalo:

f(0)=sen 02−cos⁡0=02−1=01=0f(0) = \frac{\text{sen } 0}{2 - \cos 0} = \frac{0}{2 - 1} = \frac{0}{1} = 0
f(2π)=sen (2π)2−cos⁡(2π)=02−1=01=0f(2\pi) = \frac{\text{sen } (2\pi)}{2 - \cos (2\pi)} = \frac{0}{2 - 1} = \frac{0}{1} = 0

Valores en los puntos críticos:

f(π3)=sen (π3)2−cos⁡(π3)=322−12=3232=33f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\text{sen } (\frac{\pi}{3})}{2 - \cos (\frac{\pi}{3})} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
f(5π3)=sen (5π3)2−cos⁡(5π3)=−322−12=−3232=−33f\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{\text{sen } (\frac{5\pi}{3})}{2 - \cos (\frac{5\pi}{3})} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}

4. Comparar los valores obtenidos para determinar los extremos absolutos.Los valores de la función en los puntos relevantes son:

f(0)=0f(0) = 0
f(2π)=0f(2\pi) = 0
f(π3)=33≈0.577f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577
f(5π3)=−33≈−0.577f\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577

Por lo tanto:El máximo absoluto se alcanza en x=π3x = \frac{\pi}{3} con un valor de f(π3)=33f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}.El mínimo absoluto se alcanza en x=5π3x = \frac{5\pi}{3} con un valor de f(5π3)=−33f\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}.

b) Determina la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=π3x = \frac{\pi}{3}.

Para determinar las ecuaciones de la recta tangente y normal, necesitamos un punto (x0,y0)(x_0, y_0) y la pendiente en ese punto.1. Hallar el punto de tangencia (x0,y0)(x_0, y_0).Dado x0=π3x_0 = \frac{\pi}{3}.Calculamos y0=f(π3)y_0 = f\left(\frac{\pi}{3}\right):

y0=f(π3)=33y_0 = f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}

El punto de tangencia es P(π3,33)P\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right).2. Hallar la pendiente de la recta tangente (mtm_t) calculando f′(π3)f'\left(\frac{\pi}{3}\right).La derivada es f′(x)=2cos⁡x−1(2−cos⁡x)2f'(x) = \frac{2\cos x - 1}{(2 - \cos x)^2}.

mt=f′(π3)=2cos⁡(π3)−1(2−cos⁡(π3))2m_t = f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{2\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) - 1}{\left(2 - \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)\right)^2}
mt=2(12)−1(2−12)2=1−1(32)2=094=0m_t = \frac{2\left(\frac{1}{2}\right) - 1}{\left(2 - \frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1 - 1}{\left(\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{0}{\frac{9}{4}} = 0

La pendiente de la recta tangente es mt=0m_t = 0.3. Ecuación de la recta tangente.La ecuación de la recta tangente es y−y0=mt(x−x0)y - y_0 = m_t(x - x_0).

y−33=0(x−π3)y - \frac{\sqrt{3}}{3} = 0\left(x - \frac{\pi}{3}\right)
y−33=0y - \frac{\sqrt{3}}{3} = 0
y=33y = \frac{\sqrt{3}}{3}

La recta tangente es horizontal.4. Ecuación de la recta normal.Dado que la recta tangente es horizontal (mt=0m_t = 0), la recta normal es vertical. La pendiente de la recta normal, mn=−1mtm_n = -\frac{1}{m_t}, es indefinida.La ecuación de una recta vertical que pasa por x0=π3x_0 = \frac{\pi}{3} es x=x0x = x_0.

x=π3x = \frac{\pi}{3}