Datos iniciales:Tamaño de la muestra $n = 300$ asegurados.Número de asegurados que han requerido el servicio $x = 90$.La proporción muestral de asegurados que han solicitado el servicio es $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{90}{300} = 0.3$.La proporción muestral de asegurados que no han solicitado el servicio es $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.3 = 0.7$.

Para un nivel de confianza del $97$ %, tenemos $1 - \alpha = 0.97$, lo que implica $\alpha = 0.03$ y $\frac{\alpha}{2} = 0.015$.Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.015 = 0.985$.Consultando la tabla de la distribución normal estándar, encontramos que $z_{0.015} \approx 2.17$.El intervalo de confianza para la proporción poblacional $p$ se calcula mediante la fórmula:

Calculamos el error máximo de la estimación $E$:

Por lo tanto, el intervalo de confianza es:

Deseamos que la diferencia entre la proporción muestral y la poblacional no sea mayor a un $3$ %, lo que significa que el error máximo de la estimación $E = 0.03$.El nivel de confianza es del $95$ %, por lo tanto, $1 - \alpha = 0.95$, lo que implica $\alpha = 0.05$ y $\frac{\alpha}{2} = 0.025$.Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.025 = 0.975$.Consultando la tabla de la distribución normal estándar, encontramos que $z_{0.025} = 1.96$.Utilizamos la proporción muestral $\hat{p} = 0.3$ como estimación de la proporción poblacional $p$ para calcular el tamaño de la muestra $n$. Así, $\hat{q} = 0.7$.La fórmula para el tamaño de la muestra es:

Sustituyendo los valores:

Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y para asegurar que la condición se cumple, siempre se redondea al entero superior.Por lo tanto, el número mínimo de asegurados que se deberán seleccionar es $897$.