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T1: Matrices y determinantes
Ecuaciones matriciales
Problema
2020 · Ordinaria · Suplente
3
Examen

Considera A=(211101)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, B=(10−1m11)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & m \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} y C=(2−23)C = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}.

a) Determina los valores de mm para los que ABAB no tiene inversa.b) Determina los valores de mm para los que BABA no tiene inversa.c) Para m=0m = 0, resuelve, si es posible, el sistema dado por BAX=CBAX = C y halla una solución en la que x+y+z=0x + y + z = 0.
MatricesInversaSistemas de ecuaciones
a) Determina los valores de mm para los que ABAB no tiene inversa.

Primero calculamos el producto de las matrices AA y BB.

AB=(211101)(10−1m11)=(2(1)+1(−1)+1(1)2(0)+1(m)+1(1)1(1)+0(−1)+1(1)1(0)+0(m)+1(1))AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & m \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(1)+1(-1)+1(1) & 2(0)+1(m)+1(1) \\ 1(1)+0(-1)+1(1) & 1(0)+0(m)+1(1) \end{pmatrix}
AB=(2−1+1m+11+0+11)=(2m+121)AB = \begin{pmatrix} 2-1+1 & m+1 \\ 1+0+1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & m+1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

Una matriz cuadrada no tiene inversa si su determinante es cero. Calculamos el determinante de ABAB:

det⁡(AB)=(2)(1)−(m+1)(2)\det(AB) = (2)(1) - (m+1)(2)
det⁡(AB)=2−2m−2\det(AB) = 2 - 2m - 2
det⁡(AB)=−2m\det(AB) = -2m

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de mm para los que ABAB no tiene inversa.

−2m=0  ⟹  m=0-2m = 0 \implies m = 0

Por lo tanto, ABAB no tiene inversa cuando m=0m = 0.

b) Determina los valores de mm para los que BABA no tiene inversa.

Calculamos el producto de las matrices BB y AA.

BA=(10−1m11)(211101)=(1(2)+0(1)1(1)+0(0)1(1)+0(1)−1(2)+m(1)−1(1)+m(0)−1(1)+m(1)1(2)+1(1)1(1)+1(0)1(1)+1(1))BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & m \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(2)+0(1) & 1(1)+0(0) & 1(1)+0(1) \\ -1(2)+m(1) & -1(1)+m(0) & -1(1)+m(1) \\ 1(2)+1(1) & 1(1)+1(0) & 1(1)+1(1) \end{pmatrix}
BA=(211−2+m−1−1+m312)BA = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2+m & -1 & -1+m \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}

Una matriz cuadrada no tiene inversa si su determinante es cero. Calculamos el determinante de BABA.

det⁡(BA)=2∣−1m−112∣−1∣m−2m−132∣+1∣m−2−131∣\det(BA) = 2 \begin{vmatrix} -1 & m-1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} m-2 & m-1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} m-2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}
det⁡(BA)=2((−1)(2)−(m−1)(1))−1((m−2)(2)−(m−1)(3))+1((m−2)(1)−(−1)(3))\det(BA) = 2((-1)(2) - (m-1)(1)) - 1((m-2)(2) - (m-1)(3)) + 1((m-2)(1) - (-1)(3))
det⁡(BA)=2(−2−m+1)−1(2m−4−3m+3)+1(m−2+3)\det(BA) = 2(-2 - m + 1) - 1(2m - 4 - 3m + 3) + 1(m - 2 + 3)
det⁡(BA)=2(−m−1)−1(−m−1)+1(m+1)\det(BA) = 2(-m - 1) - 1(-m - 1) + 1(m + 1)
det⁡(BA)=−2m−2+m+1+m+1\det(BA) = -2m - 2 + m + 1 + m + 1
det⁡(BA)=(−2m+m+m)+(−2+1+1)=0\det(BA) = (-2m + m + m) + (-2 + 1 + 1) = 0

El determinante de BABA es siempre 00, independientemente del valor de mm. Por lo tanto, BABA no tiene inversa para ningún valor de mm.

c) Para m=0m = 0, resuelve, si es posible, el sistema dado por BAX=CBAX = C y halla una solución en la que x+y+z=0x + y + z = 0.

Para m=0m=0, la matriz BABA es:

BA=(2110−2−10−1312)=(211−2−1−1312)BA = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0-2 & -1 & 0-1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}

El sistema BAX=CBAX = C se convierte en:

(211−2−1−1312)(xyz)=(2−23)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}

Esto corresponde al siguiente sistema de ecuaciones lineales:

{2x+y+z=2−2x−y−z=−23x+y+2z=3\begin{cases} 2x + y + z = 2 \\ -2x - y - z = -2 \\ 3x + y + 2z = 3 \end{cases}

Observamos que la segunda ecuación es −1-1 veces la primera ecuación ((−1)⋅(2x+y+z)=−2x−y−z(-1) \cdot (2x + y + z) = -2x - y - z y (−1)⋅2=−2(-1) \cdot 2 = -2). Por lo tanto, la segunda ecuación es redundante. El sistema se reduce a:

{2x+y+z=2(1)3x+y+2z=3(2)\begin{cases} 2x + y + z = 2 \quad (1) \\ 3x + y + 2z = 3 \quad (2) \end{cases}

Restamos la ecuación (1) de la ecuación (2):

(3x+y+2z)−(2x+y+z)=3−2(3x + y + 2z) - (2x + y + z) = 3 - 2
x+z=1x + z = 1

De esta ecuación, podemos expresar zz en función de xx: z=1−xz = 1 - x. Ahora, sustituimos zz en la ecuación (1):

2x+y+(1−x)=22x + y + (1 - x) = 2
x+y+1=2x + y + 1 = 2
y=1−xy = 1 - x

La solución general del sistema es, tomando x=λx = \lambda como parámetro:

{x=λy=1−λz=1−λ\begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 1 - \lambda \end{cases}

Ahora, buscamos una solución que cumpla la condición x+y+z=0x + y + z = 0:

\lambda + (1 - \lambda) + (1 - \lambda) = 0
2−λ=02 - \lambda = 0
λ=2\lambda = 2

Sustituimos λ=2\lambda = 2 en la solución general para obtener la solución particular:

{x=2y=1−2=−1z=1−2=−1\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 - 2 = -1 \\ z = 1 - 2 = -1 \end{cases}

La solución del sistema que cumple x+y+z=0x + y + z = 0 es (x,y,z)=(2,−1,−1)(x, y, z) = (2, -1, -1).