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T2: Interacción electromagnética
Fuerza de Lorentz
Teoría
2021 · Ordinaria · Titular
B2-a
Examen
a) Un electrón se mueve en sentido positivo del eje OX en una región en la que existe un campo magnético uniforme dirigido en el sentido negativo del eje OZ. i) Indique, de forma justificada y con ayuda de un esquema, la dirección y sentido en que debe actuar un campo eléctrico uniforme para que la partícula no se desvíe. ii) ¿Qué relación deben cumplir para ello los módulos de ambos campos?
Fuerza magnéticaFuerza eléctricaSelector de velocidades
a) i) Para que el electrón no se desvíe, la fuerza neta sobre él debe ser nula. Esto implica que la fuerza magnética (FB⃗\vec{F_B}) y la fuerza eléctrica (FE⃗\vec{F_E}) deben ser iguales en magnitud y dirección, pero de sentidos opuestos (FE⃗=−FB⃗\vec{F_E} = -\vec{F_B}).

Primero, calculamos la fuerza magnética sobre el electrón. El electrón tiene carga q=−eq = -e. Su velocidad es v⃗=vi^\vec{v} = v\hat{i} (sentido positivo del eje OX) y el campo magnético es B⃗=−Bk^\vec{B} = -B\hat{k} (sentido negativo del eje OZ).

FB⃗=q(v⃗×B⃗)\vec{F_B} = q (\vec{v} \times \vec{B})
FB⃗=(−e)(vi^×(−Bk^))\vec{F_B} = (-e) (v\hat{i} \times (-B\hat{k}))
FB⃗=(−e)(−vB(i^×k^))\vec{F_B} = (-e) (-vB (\hat{i} \times \hat{k}))

Sabiendo que i^×k^=−j^\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}:

FB⃗=(−e)(−vB(−j^))=(−e)(vBj^)=−evBj^\vec{F_B} = (-e) (-vB (-\hat{j})) = (-e) (vB\hat{j}) = -evB\hat{j}

La fuerza magnética FB⃗\vec{F_B} actúa en el sentido negativo del eje OY.Para que la partícula no se desvíe, la fuerza eléctrica FE⃗\vec{F_E} debe cancelar la fuerza magnética:

FE⃗=−FB⃗=−(−evBj^)=evBj^\vec{F_E} = -\vec{F_B} = -(-evB\hat{j}) = evB\hat{j}

La fuerza eléctrica FE⃗\vec{F_E} debe actuar en el sentido positivo del eje OY.Ahora, determinamos la dirección del campo eléctrico E⃗\vec{E} usando la relación FE⃗=qE⃗\vec{F_E} = q\vec{E}:

E⃗=FE⃗q=evBj^−e=−vBj^\vec{E} = \frac{\vec{F_E}}{q} = \frac{evB\hat{j}}{-e} = -vB\hat{j}

Por lo tanto, el campo eléctrico uniforme E⃗\vec{E} debe estar dirigido en el sentido negativo del eje OY para que la partícula no se desvíe.Esquema:

B (entrante)⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗-vF
ii) Para que el electrón no se desvíe, los módulos de la fuerza eléctrica y la fuerza magnética deben ser iguales:
∣FE⃗∣=∣FB⃗∣|\vec{F_E}| = |\vec{F_B}|
∣qE⃗∣=∣q(v⃗×B⃗)∣|q\vec{E}| = |q(\vec{v} \times \vec{B})|
∣−e∣E=∣−e∣vB|-e| E = |-e| vB
eE=evBeE = evB

Dividiendo por ee (ya que e≠0e \neq 0):

E=vBE = vB

La relación que deben cumplir los módulos de ambos campos es E=vBE = vB, donde vv es la magnitud de la velocidad del electrón.