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T4: Funciones
Análisis de funciones racionales
Problema
2024 · Extraordinaria · Suplente
3
Examen
BLOQUE B

Se considera la función

f(x)=1−43+xf(x) = 1 - \frac{4}{3+x}
a) Halle el dominio de ff y los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas.b) Calcule las asíntotas de la función ff.c) Obtenga los puntos donde la recta tangente a la gráfica de ff tiene pendiente 1.d) Estudie la curvatura de la función ff.
AnálisisFunciones racionalesAsíntotas+2
a) Halle el dominio de ff y los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas.

La función f(x)=1−43+xf(x) = 1 - \frac{4}{3+x} es una función racional. El denominador no puede ser cero, por lo tanto:

3+x≠0  ⟹  x≠−33+x \neq 0 \implies x \neq -3

El dominio de la función es D(f)=R∖{−3}D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-3\}.Para los puntos de corte con los ejes de coordenadas:Corte con el eje Y (cuando x=0x=0):

f(0)=1−43+0=1−43=−13f(0) = 1 - \frac{4}{3+0} = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}

El punto de corte con el eje Y es (0,−1/3)(0, -1/3).Corte con el eje X (cuando f(x)=0f(x)=0):

1−43+x=0  ⟹  1=43+x  ⟹  3+x=4  ⟹  x=11 - \frac{4}{3+x} = 0 \implies 1 = \frac{4}{3+x} \implies 3+x = 4 \implies x = 1

El punto de corte con el eje X es (1,0)(1, 0).

b) Calcule las asíntotas de la función ff.

Asíntotas verticales (AV): Se buscan los valores de xx que anulan el denominador.

3+x=0  ⟹  x=−33+x=0 \implies x=-3

Calculamos los límites laterales para confirmar la asíntota vertical:

lim⁡x→−3+(1−43+x)=1−40+=1−∞=−∞\lim_{x \to -3^+} \left(1 - \frac{4}{3+x}\right) = 1 - \frac{4}{0^+} = 1 - \infty = -\infty
lim⁡x→−3−(1−43+x)=1−40−=1−(−∞)=+∞\lim_{x \to -3^-} \left(1 - \frac{4}{3+x}\right) = 1 - \frac{4}{0^-} = 1 - (-\infty) = +\infty

Por lo tanto, la recta x=−3x=-3 es una asíntota vertical.Asíntotas horizontales (AH): Se calculan los límites de la función cuando x→±∞x \to \pm\infty.

lim⁡x→±∞(1−43+x)=1−0=1\lim_{x \to \pm\infty} \left(1 - \frac{4}{3+x}\right) = 1 - 0 = 1

Por lo tanto, la recta y=1y=1 es una asíntota horizontal.Asíntotas oblicuas (AO): Al existir asíntota horizontal, no hay asíntota oblicua.

c) Obtenga los puntos donde la recta tangente a la gráfica de ff tiene pendiente 1.

La pendiente de la recta tangente en un punto viene dada por la primera derivada de la función. Primero, calculamos f′(x)f'(x):

f(x)=1−4(3+x)−1f(x) = 1 - 4(3+x)^{-1}
f′(x)=0−4(−1)(3+x)−2(1)=4(3+x)2f'(x) = 0 - 4(-1)(3+x)^{-2}(1) = \frac{4}{(3+x)^2}

Ahora, igualamos la derivada a 1 para encontrar los valores de xx donde la pendiente es 1:

4(3+x)2=1\frac{4}{(3+x)^2} = 1
(3+x)2=4(3+x)^2 = 4
3+x=±43+x = \pm\sqrt{4}
3+x=±23+x = \pm 2

Tenemos dos posibles valores para xx:

3+x=2  ⟹  x=−13+x = 2 \implies x = -1
3+x=−2  ⟹  x=−53+x = -2 \implies x = -5

Ahora calculamos las coordenadas yy correspondientes a estos valores de xx:Para x=−1x=-1:

f(−1)=1−43+(−1)=1−42=1−2=−1f(-1) = 1 - \frac{4}{3+(-1)} = 1 - \frac{4}{2} = 1 - 2 = -1

El punto es (−1,−1)(-1, -1).Para x=−5x=-5:

f(−5)=1−43+(−5)=1−4−2=1+2=3f(-5) = 1 - \frac{4}{3+(-5)} = 1 - \frac{4}{-2} = 1 + 2 = 3

El punto es (−5,3)(-5, 3).

d) Estudie la curvatura de la función ff.

Para estudiar la curvatura, calculamos la segunda derivada de la función.

f′(x)=4(3+x)−2f'(x) = 4(3+x)^{-2}
f′′(x)=4(−2)(3+x)−3(1)=−8(3+x)−3=−8(3+x)3f''(x) = 4(-2)(3+x)^{-3}(1) = -8(3+x)^{-3} = \frac{-8}{(3+x)^3}

El signo de f′′(x)f''(x) determina la curvatura. La segunda derivada nunca es cero. El signo depende del término (3+x)3(3+x)^3 en el denominador.Consideramos el punto x=−3x=-3, donde la función no está definida.Si x>−3  ⟹  3+x>0  ⟹  (3+x)3>0x > -3 \implies 3+x > 0 \implies (3+x)^3 > 0:

f′′(x)=−8positivo<0f''(x) = \frac{-8}{\text{positivo}} < 0

En el intervalo (−3,+∞)(-3, +\infty), la función es cóncava hacia abajo (curvatura ∩\cap).Si x<−3  ⟹  3+x<0  ⟹  (3+x)3<0x < -3 \implies 3+x < 0 \implies (3+x)^3 < 0:

f′′(x)=−8negativo>0f''(x) = \frac{-8}{\text{negativo}} > 0

En el intervalo (−∞,−3)(-\infty, -3), la función es cóncava hacia arriba (curvatura ∪\cup). No hay puntos de inflexión ya que x=−3x=-3 no pertenece al dominio de la función.