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T1: Matrices y determinantes
Ecuaciones matriciales e inversa
Problema
2022 · Ordinaria · Reserva
5
Examen

Considera la matriz

A=(1211111−1−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}
a) Calcula A−1A^{-1}.b) Calcula la matriz XX de orden tres que verifica AX+(A−X)2=X2+IAX + (A - X)^2 = X^2 + I, siendo II la matriz identidad de orden tres.
MatricesMatriz inversaEcuación matricial
a) Calcula A−1A^{-1}.

Primero, calculamos el determinante de la matriz AA para verificar si es invertible.

det⁡(A)=∣1211111−1−1∣\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}
det⁡(A)=1⋅(1⋅(−1)−1⋅(−1))−2⋅(1⋅(−1)−1⋅1)+1⋅(1⋅(−1)−1⋅1)\det(A) = 1 \cdot (1 \cdot (-1) - 1 \cdot (-1)) - 2 \cdot (1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1)
det⁡(A)=1⋅(−1+1)−2⋅(−1−1)+1⋅(−1−1)\det(A) = 1 \cdot ( -1 + 1 ) - 2 \cdot ( -1 - 1 ) + 1 \cdot ( -1 - 1 )
det⁡(A)=1⋅(0)−2⋅(−2)+1⋅(−2)\det(A) = 1 \cdot (0) - 2 \cdot (-2) + 1 \cdot (-2)
det⁡(A)=0+4−2=2\det(A) = 0 + 4 - 2 = 2

Dado que det⁡(A)=2≠0\det(A) = 2 \neq 0, la matriz AA es invertible. Ahora calculamos la matriz de cofactores CijC_{ij}.

C11=∣11−1−1∣=−1−(−1)=0C_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - (-1) = 0
C12=−∣111−1∣=−(−1−1)=2C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 - 1) = 2
C13=∣111−1∣=−1−1=−2C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2
C21=−∣21−1−1∣=−(−2−(−1))=−(−1)=1C_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -(-2 - (-1)) = -(-1) = 1
C22=∣111−1∣=−1−1=−2C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2
C23=−∣121−1∣=−(−1−2)=3C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 - 2) = 3
C31=∣2111∣=2−1=1C_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1
C32=−∣1111∣=−(1−1)=0C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 1) = 0
C33=∣1211∣=1−2=−1C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1

La matriz de cofactores es:

C=(02−21−2310−1)C = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}

La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores:

adj(A)=CT=(0112−20−23−1)\text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & -1 \end{pmatrix}

Finalmente, la inversa de AA es A−1=1det⁡(A)adj(A)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A).

A−1=12(0112−20−23−1)=(01/21/21−10−13/2−1/2)A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1/2 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}
b) Calcula la matriz XX de orden tres que verifica AX+(A−X)2=X2+IAX + (A - X)^2 = X^2 + I, siendo II la matriz identidad de orden tres.

Primero, expandimos la expresión (A−X)2(A - X)^2:

(A−X)2=(A−X)(A−X)=A2−AX−XA+X2(A - X)^2 = (A - X)(A - X) = A^2 - AX - XA + X^2

Sustituimos esto en la ecuación original:

AX+(A2−AX−XA+X2)=X2+IAX + (A^2 - AX - XA + X^2) = X^2 + I

Simplificamos la ecuación. Los términos AXAX y X2X^2 se cancelan a ambos lados:

A2−XA=IA^2 - XA = I

Ahora, aislamos XAXA y luego XX. Restamos II a ambos lados y sumamos XAXA a ambos lados:

A2−I=XAA^2 - I = XA

Para despejar XX, multiplicamos por A−1A^{-1} por la derecha en ambos lados de la ecuación, ya que A−1A^{-1} es la inversa de AA y sabemos que existe:

(A2−I)A−1=XAA−1(A^2 - I)A^{-1} = XA A^{-1}

Aplicamos la propiedad distributiva y que AA−1=IA A^{-1} = I y IA−1=A−1I A^{-1} = A^{-1}:

A2A−1−IA−1=XA^2 A^{-1} - I A^{-1} = X
A−A−1=XA - A^{-1} = X

Finalmente, calculamos XX restando la matriz A−1A^{-1} de la matriz AA:

X=(1211111−1−1)−(01/21/21−10−13/2−1/2)X = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1/2 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}
X=(1−02−1/21−1/21−11−(−1)1−01−(−1)−1−3/2−1−(−1/2))X = \begin{pmatrix} 1 - 0 & 2 - 1/2 & 1 - 1/2 \\ 1 - 1 & 1 - (-1) & 1 - 0 \\ 1 - (-1) & -1 - 3/2 & -1 - (-1/2) \end{pmatrix}
X=(13/21/20212−5/2−1/2)X = \begin{pmatrix} 1 & 3/2 & 1/2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & -5/2 & -1/2 \end{pmatrix}